2020届湖南省长沙市高三第二次月考数学（文）试卷_满分5

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4. 难度：简单
为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（） A. 乙的数据分析素养优于甲 B. 乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 甲的六大素养整体水平优于乙 D. 甲的六大素养中数据分析最差

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5. 难度：简单
已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，且，则 D.若，且，则

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10. 难度：简单
已知实数，满足不等式组，则点构成平面区域的面积是（） A. B. C. D.

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11. 难度：中等
设函数f（x）＝，若函数f（x）的最大值为﹣1，则实数a的取值范围为（　　） A.（﹣∞，﹣2） B.[2，+∞） C.（﹣∞，﹣1] D.（﹣∞，﹣2]

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12. 难度：困难
如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（） A. B. C. D.

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14. 难度：简单
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个质数的和“，在不超过的质数中，随机选取两个不同的数其和等于的概率是_____________.

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15. 难度：中等
已知长方体，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为___________.

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16. 难度：困难
已知数列的前项和为,且，，若不等式.对任意的恒成立，则的取值范围是__________．

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17. 难度：中等
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． Ⅰ.求：角B； Ⅱ.若，求：的面积．

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18. 难度：中等
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．

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19. 难度：中等
(本小题满分12分)已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求．

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20. 难度：中等

如图是某小区2017年1月到2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；

（2）某位购房者拟于2018年6月份购买该小区平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满 5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：

（ⅰ）估算该购房者应支付的金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）

（ⅱ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）

附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：

契税

（买方缴纳）

首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%

增值税

（卖方缴纳）

房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征

个人所得税

（卖方缴纳）

首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征

参考数据：，.

参考公式：相关数据

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21. 难度：困难
已知函数，其中. （1）当时，讨论的单调性；（2）若，并且存在两个极值点，，求证：.

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22. 难度：中等
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），圆.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线与圆的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与曲线相交于，与圆相交于（异于原点），当时，求的最大值.

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23. 难度：中等
选修4-5：不等式选讲已知函数. （1）求的解集；（2）记函数的最小值为，若，，且，求的最小值.