北京交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知全集，，，则（    ）

A. B.

C.或 D.

3. 难度：简单

不等式的解集为（ ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

若，则下列不等式成立的是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

命题，，则是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

6. 难度：中等

若偶函数在区间上是增函数，则(　　)

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x₁，x₂∈R，则“x₁+x₂＝0”是“f（x₁）+f（x₂）＝0”的（　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：困难

对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是(    )

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

9. 难度：简单

我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．

10. 难度：简单

一元二次方程的两个实数根分别是、，则的值是______．

11. 难度：简单

已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是         ．

12. 难度：简单

为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.

13. 难度：中等

已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 若关于 的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．

14. 难度：简单

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．

①______；

②若的值域是，则的取值范围是______．

三、解答题

15. 难度：中等

已知二次函数，有两个零点为和．

（1）求、的值；

（2）证明：；

（3）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；

（4）求在区间上的最小值．

16. 难度：中等

已知函数.

（1）直接写出的零点；

（2）在坐标系中，画出的示意图（注意要画在答题纸上）

（3）根据图象讨论关于的方程的解的个数:

（4）若方程，有四个不同的根、、、直接写出这四个根的和；

（5）若函数在区间上既有最大值又有最小值，直接写出a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数.

（1）求证：是上的奇函数；

（2）求的值；

（3）求证：在上单调递增，在上单调递减；

（4）求在上的最大值和最小值；

（5）直接写出一个正整数，满足．

18. 难度：困难

设函数，，且对所有的实数，等式都成立，其、、、、、、、，、．

（1）如果函数，，求实数的值；

（2）设函数，直接写出满足的两个函数；

（3）如果方程无实数解，求证：方程无实解．