2020届湖南省常德市高三上学期期末数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

已知向量，，若，则 （    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

3. 难度：简单

已知复数满足：，其中是虚数单位，则“”是“在复平面内，复数对应的点位于第一象限”的（    ）

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4. 难度：简单

设为等差数列，首项，为其前项和，若，则公差 （    ）

A.-4 B.-2 C.2 D.4

5. 难度：简单

“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门.为了解某单位职工“学习强国”每天的学习时长与所得积分之间的关系，现从该单位随机抽取10名职工，统计他们某天的学习时长（分钟）得到条形图形如图所示，该10名职工的学习积分分别为，若学习时长与所得积分之间有线性相关关系，设其回归方程为.已知，.若该单位某人在一天的学习时长为40分钟，据此估计其所得积分为 （    ）

A.25 B.28 C.29 D.30

6. 难度：困难

函数的图象大致为 （    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点为为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为 （    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，则；

②若，则或；

③若是异面直线，那么与一定相交；

④若，则．

其中所有正确命题的编号是（    ）

A.①② B.①④ C.②③ D.②④

10. 难度：中等

世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

将边长为，锐角为60°的菱形沿较短的对角线折叠成120°的二面角，若该菱形折叠后所得到三棱锥内接于球，则该球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，且，，则的离心率为 （    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若实数满足约束条件，则的最大值为__________．

14. 难度：简单

曲线在处的切线方程为__________．

15. 难度：简单

已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则__________．

16. 难度：困难

若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．

三、解答题

17. 难度：中等

的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若，求的最大值.

18. 难度：中等

如图，在三角形中，，，平面与半圆弧所在的平面垂直，点为半圆弧上异于的动点，为的中点.

（1）求证：；

（2）当三棱锥体积最大时，求锐二面角的余弦值.

19. 难度：困难

设是曲线上两点，两点的横坐标之和为4，直线的斜率为2.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，试求三角形的面积.

20. 难度：困难

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；

（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）当时，若存在实数，使得，求的最小值.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若，求曲线与的交点坐标；

（2）过曲线上任一点作与夹角为30°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.

23. 难度：简单

已知，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当的最小值为4时，证明：．