安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

直线xy+1=0的倾斜角是（　　）

A.30° B.60°

C.120° D.150°

2. 难度：中等

已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为（    ）

A.1 B. C. D.

3. 难度：简单

已知圆，则两圆的位置关系为(    )

A.相离 B.外切 C.相交 D.内切

4. 难度：简单

如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（    ）

A. 在直线上    B. 在直线上

C. 在直线上    D. 都不对

5. 难度：简单

如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为

A. B. C. D.

6. 难度：简单

“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”的后一句中，“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：简单

若直线与平行，则与间的距离为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：

①若，，，，则；

②若，，，则；

③若，，则．其中正确的命题个数为

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知点是直线的动点，过点引圆的两条切线，切点为，当的最大值为时，则（    ）

A.1 B. C. D.2

12. 难度：困难

已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是（3,0），则的最大值为（    ）

A.2 B.4 C.6 D.10

二、填空题

13. 难度：简单

    命题“，”的否定是__________．

14. 难度：中等

已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为________.

15. 难度：中等

过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_____________．

16. 难度：困难

在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________．

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面平面；

③若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得；

④的面积可能等于.

三、解答题

17. 难度：简单

已知直线方程为，.

（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，分别在棱，上，且，，平面平面，.

（1）求证：∥平面；

（2）求三棱锥的体积.

19. 难度：中等

记分别为函数的导函数.若存在，满足，且，则称为函数与的一个“公共切点”.

（1）若，，求与的“公共切点”；

（2）若函数与存在“公共切点”，求实数的值；

20. 难度：中等

已知四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，.分别为的中点.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离.

21. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为1，是直线上一点，过点且与垂直的直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线的斜率分别为，求证：成等差数列.

22. 难度：困难

已知集合.

（1）求证：函数；

（2）某同学由（1）又发现是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；

（3）设为非零常数，求的充要条件，并给出证明.