2019届重庆市招生全国统一考试4月(二诊)调研测试（康德版）理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数（i为虚数单位）的共轭复数为（　　）

A.1+i B.1﹣i C.1+2i D.1﹣2i

2. 难度：简单

已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A.或 B.或

C. D.

3. 难度：简单

已知函数f（x）＝，则f（﹣1）＝（　　）

A.log₂5 B.log₂6 C.3 D.2+log₂3

4. 难度：简单

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₁＝22，则a₃+a₅+a₁₀＝（　　）

A.2 B.3 C.6 D.12

5. 难度：简单

为了得到的图象，只需要将（　　）

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

6. 难度：简单

中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为（　　）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

函数的部分图象大致为（　　）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，则下列推理：①p∨q⇒￢r；②p⇒￢r；③￢r⇒q；④（￢p）∧（￢q）⇒r．其中正确的个数为（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

9. 难度：简单

若用如图所示的程序框图寻找使1++…+＞成立的正整数i的最小值，则图中①②处应填入（　　）

A.S？，输出i B.S？，输出i﹣1

C.S？，输出i﹣2 D.S＜？，输出i﹣1

10. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂过点F₁的直线l与双曲线C的左支交于AB两点，△BF₁F₂的面积是△AF₁F₂面积的三倍，∠F₁AF₂＝90°，则双曲线C的离心率为（　　）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若函数f（x）＝（x﹣）e^x在（0，1）内存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，0） B.（0，+∞） C.（﹣∞，﹣1] D.[﹣1，0）

二、填空题

13. 难度：中等

设（1﹣x）（1+x）⁵＝a+a₁x+a₂x³+a₃x³+…+a₆x⁶，则a₁的值为_____

14. 难度：中等

已知单位向量，满足（2+3）（﹣）＝﹣，则﹣与的夹角为_____

15. 难度：中等

已知sin²（α+）+cos²（α﹣）＝，若α∈（0，π），则α＝_____

16. 难度：中等

如图，圆锥SO的高SO＝2，底面直径AB＝CD＝4，M，N分别是SC，SD的中点，则四面体ABMN体积的最大值是_____

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝acosB+2bsin²

（1）求A

（2）若b＝4，AC边上的中线长为，求a．

18. 难度：中等

某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）．经统计，高度均在区间[20，50]内，将其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗．

（1）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？

（2）用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记为X，求X的分布列和数学期望．

	甲地区	乙地区	合计
优质树苗	5
非优质树苗		25
合计

附：K²＝，其中n＝a+b+c+d

P（K^2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

在如图所示的几何体中，侧面ABCD为矩形，侧面DEFG为平行四边形，AB＝1，AD＝2，AG∥BF，AB⊥BF，AG＝3,BF＝5，二面角D﹣AB﹣F的大小为60°.

（1）证明，平面CDE⊥平面ADG

（2）求直线BE与平面ABCD所成角的大小

20. 难度：困难

己知A，B分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，O为坐标原点，•＝﹣4，△PAB的面积的最大值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C上存在两点M，N，分别满足OM∥PA，ON∥PB，求|OM|•|ON|的最大值．

21. 难度：困难

已知a≤8．函数f（x）＝a1nx﹣x²+5，g（x）＝2x+

（1）若f（x）的极大值为5，求a的值

（2）若关于x的不等式f（x）≤g（x）在区间[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围，（1n2≈0.7）

22. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ＝2cosθ

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l过点P（1，1）且与曲线C交于AB两点，求|PA|+|PB|

23. 难度：中等

设函数f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|

（1）求不等式f（x）≤5的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1，2]上恒成立，求实数a的取值范围