辽宁省2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

数列1，3，7，15，的通项可以是（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（   ）

A.  B. 或

C.  D. 或

3. 难度：简单

若直线与直线平行，则（ ）

A.2或-1 B.2 C.-1 D.以上都不对

4. 难度：简单

以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

若圆截直线所得弦长为6，则实数m的值为（    ）

A.-31 B.-4 C.-2 D.-1

6. 难度：简单

若直线l₁：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l₂：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝（    ）

A.7 B. C.14 D.17

7. 难度：简单

已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆分别相交于点、、、，则（）

A.  B. 8 C. 4 D.

8. 难度：中等

数列，满足，，，则数列的前项和为（    ）．

A. B. C. D.

9. 难度：中等

美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．雅中高2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）．

A.  B.  C.  D.

二、多选题

11. 难度：中等

已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（    ）

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中，为正常数，满足或，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（    ）

A.两个椭圆 B.两个双曲线

C.一个双曲线和一条直线 D.一个椭圆和一个双曲线

三、填空题

13. 难度：简单

实轴长为12，离心率为2，焦点在轴上的双曲线的标准方程为______．

14. 难度：简单

在数列中，，，，则______．

15. 难度：中等

已知直线，．若，与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则________．

16. 难度：困难

已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题

17. 难度：中等

已知数列是递增的等比数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．

18. 难度：中等

如图，轴，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，

（1）求点的轨迹方程.

（2）过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦平分，求直线的方程．

19. 难度：困难

黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合.

（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；

（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于?（不考虑泥沙沉淀）

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点为别为F₁、F₂，且过点和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF₂的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．

21. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点、，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线是圆的切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：的大小为定值．

22. 难度：中等

规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

（1）如图，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球球心运动的直线方程；

（2）如图，若母球的位置为，目标球的位置为，能否让母球击打目标球后，使目标球向处运动？

（3）若的位置为时，使得母球击打目标球时，目标球运动方向可以碰到目标球，求的最小值（只需要写出结果即可）.