湖南省长沙市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，若，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

函数（，且）的图象恒过的点为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

如图，长方体中，，则线段的长是（   ）

A. B. C.28 D.

4. 难度：简单

方程的解所在的区间为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，异面直线BD₁与AC所成的角等于(　　)

A.60° B.45° C.30° D.90°

6. 难度：简单

已知圆O₁：x²+y²=1与圆O₂：（x﹣3）²+（x+4）²=16，则圆O₁与圆O₂的位置关系为（　 ）

A.外切 B.内切 C.相交 D.相离

7. 难度：简单

已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：

①若， ，则；    ②若，，则；

③若，，则；    ④若，，，则

以上命题正确的个数为（　　）

A.3 B.2 C.1 D.0

8. 难度：中等

已知直线 与直线平行，则它们之间的距离是(　 　)

A.1 B. C.3 D.4

9. 难度：中等

已知幂函数的图象过点，则（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则的取值范围为（　　）

A. （﹣1，+∞） B. （﹣1，1] C. （﹣∞，1） D. [﹣1，1）

11. 难度：困难

在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 难度：中等

已知，若，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.

14. 难度：简单

在三棱锥中，，且，，两两垂直，点为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是__________．

15. 难度：中等

已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.

16. 难度：困难

如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．

三、解答题

17. 难度：中等

已知集合，集合.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

已知平面内两点.

（1）求线段的垂直平分线方程.

（2）直线过点，且两点到直线的距离相等，求直线的方程；

19. 难度：中等

已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.

（1）当时，求点的坐标；

（2）当取最大值时，求的外接圆方程.

20. 难度：中等

如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点在棱上,且

（1）证明：面面;

（2）求二面角的余弦值.

21. 难度：中等

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

22. 难度：困难

已知函数.

（1）若函数的最大值是，求的值；

（2）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.