2020届江西师大附中高三上学期期中数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

3. 难度：简单

已知向量，，则向量在上的投影为（    ）

A. B. C. D.3

4. 难度：简单

某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本，某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（    ）

A.1030人 B.1050人 C.950人 D.970人

5. 难度：简单

在双曲线中，已知c，a，b成等差数列，则该双曲线的离心率等于（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（    ）

A.8 B.12 C.16 D.20

7. 难度：简单

将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像关于直线对称，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知图是下列四个函数之一的图象，这个函数是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线AF的斜率为，则等于（    ）

A.8 B. C.4 D.

10. 难度：中等

设等比数列的前n项和为，若，则数列的前100项和为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名.无论是否把我算在内，下面说法都是对的.在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生.”请你推断说话的人的性别与职业是（    ）

A.男医生 B.女医生 C.男护士 D.女护士

12. 难度：中等

函数上任意一点处的切线，在其图像上总存在异与点A的点，使得在B点处的切线满足，则称函数具有“自平行性”.下列有关函数的命题：

①函数具有“自平行性”；②函数具有“自平行性”；

③函数具有“自平行性”的充要条件为实数；

④奇函数不一定具有“自平行性”；⑤偶函数具有“自平行性”.

其中所有叙述正确的命题的序号是（    ）

A.①③④ B.①④⑤ C.②③④ D.①②⑤

二、填空题

13. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是.

14. 难度：中等

在等差数列中，对任意正整数n，都有﹐则________.

15. 难度：中等

已知x，y满足，且的最小值为8，则正实数a的取值范围为________.

16. 难度：中等

已知棱长等于的正方体，它的外接球的球心为O﹐点E是AB的中点，则过点E的平面截球O的截面面积的最小值为________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值．

18. 难度：中等

汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2015年开始，将对排放量超过130g/km的型新车进行惩罚（视为排放量超标），某检测单位对甲、乙两类型品牌抽取5辆进行排放量检测，记录如下（单位：g/km）：

甲	80	110	120	140	150
乙	100	120	x	y	160

经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为.

（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆排放量超标的概率是多少?

（Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的的排放量的稳定性要好，求x的范围.

19. 难度：中等

已知四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，，.

（Ⅰ）求证：平面平面PAC；

（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为，求的值.

20. 难度：中等

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

21. 难度：困难

已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）.

（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

22. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t是参数，），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）当时，曲线和相交于M、N两点，求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程.

23. 难度：中等

已知函数定义域为R.

（Ⅰ）求实数m的取值范围;

（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求的最小值.