2019届湖南省岳阳市高三第六次质检数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知（是实数），其中是虚数单位，则（    ）

A.-2 B.-1 C.1 D.3

2. 难度：简单

如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为(   )

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则=（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

在的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项，则展开式中常数项（       ）.

A.180 B.120 C.90 D.45

5. 难度：简单

下边的程序运行后输出的结果为( )

A.50 B.5

C.25 D.0

6. 难度：简单

平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数的取值集合（       ）.

A. B. C. D.

7. 难度：困难

已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（    ）

A. B. C.2 D.3

8. 难度：简单

某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的､､､､､､､八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市被选中的概率为（       ）.

A. B. C. D.

9. 难度：中等

    已知点A(－2,3)在抛物线C：y²＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)

A.  B.  C.  D.

10. 难度：简单

已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题，，且，成立的充要条件是（       ）.

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是

A.的取值范围为

B.取值范围为

C.的取值范围为

D.若，则实数的取值范围为

12. 难度：简单

已知，，，是半径为2的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（    ）.

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

计算__________．

14. 难度：中等

在ABC中，，且，则_______.

15. 难度：困难

已知双曲线C：，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F₁PQ=90°，则△F₁PQ的内切圆的半径r =________．

16. 难度：简单

正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______.

三、解答题

17. 难度：中等

设数列的前项之积为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．

18. 难度：中等

为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：

校区	愿意参加	不愿意参加
重庆一中本部校区	220	980
重庆一中大学城校区	80	720

（1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；

（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分的概率满足：，假设解答各题之间没有影响，

①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值；

②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望．

19. 难度：中等

如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，，且．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

20. 难度：中等

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值范围.

22. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.

（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.

23. 难度：简单

已知函数，.

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.