四川省眉山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

若直线不平行于平面，且，则

A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线

C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交

2. 难度：简单

不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（    ）

A.(﹣1，﹣1) B.(﹣2，0) C.(﹣1，﹣2) D.(0，﹣1)

3. 难度：简单

已知向量，且与互相垂直，则k的值是（     ）

A.1 B.  C. D.

4. 难度：简单

过圆C:(x﹣2)²+(y﹣1)²=25上一点P(﹣2，4)作切线l，直线m:ax﹣3y=0与切线l平行，则a的值为（    ）

A.  B.2 C.4 D.

5. 难度：简单

如图所示，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，若AB=BC，E，F分别是AB₁，BC₁的中点，则下列结论中不成立的是（    ）

A.EF与BB₁垂直 B.EF⊥平面BDD₁B₁

C.EF与C₁D所成的角为45° D.EF∥平面A₁B₁C₁D₁

6. 难度：简单

点M(5,3)到抛物线y＝ax²(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（    ）

A.y＝12x² B.y＝12x²或y＝－36x²

C.y＝－36x² D.y＝x²或y＝－x²

7. 难度：简单

直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.[0，π) B.

C.  D.

8. 难度：中等

过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x﹣4y+1=0的交点，且面积最小的圆方程为（    ）

A.(x+)²+(y+)²= B.(x﹣)²+(y﹣)²=

C.(x﹣)²+(y+)²= D.(x+)²+(y﹣)²=

9. 难度：简单

已知正方体AC₁的棱长为1，点P是面AA₁D₁D的中心，点Q是面A₁B₁C₁D₁的对角线B₁D₁上一点，且PQ∥平面AA₁B₁B，则线段PQ的长为（    ）

A.  B. C.1 D.

10. 难度：简单

过点C(0，﹣1)的直线与双曲线右支交于A，B两点，则直线AB的斜率取值范围为（    ）

A.  B.

C.(﹣1，1) D.

11. 难度：中等

已知0<x<2，0<y<2 ，且M=则M的最小值为（    ）

A.  B. C.2 D.

12. 难度：困难

已知圆M:x²+(y﹣1)²=1，圆N:x²+(y+1)²=1，直线l₁､l₂分别过圆心M､N，且l₁与圆M相交于A､B，l₂与圆N相交于C､D，P是椭圆上的任意一动点，则的最小值为（    ）

A.  B. C.3 D.6

二、填空题

13. 难度：简单

双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为_____.

14. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为_____.

15. 难度：简单

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，向量两两的夹角均为60°，且=1，||=2，||=3，则||等于_____.

16. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y＝ 的图像上存在区域D上的点,则实数a的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：简单

已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).

（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；

（2）求△ABC的外接圆的方程.

18. 难度：中等

AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.

（1）判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；

（2）当△VAB为边长为的正三角形时，求四面体V﹣DEB的体积.

19. 难度：中等

已知点P在曲线x²+y²=1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，动点M满足.

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）点A､B在直线x﹣y﹣4=0上，且AB=4，求△MAB的面积的最大值.

20. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

（1）求证:AB⊥DE；

（2）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.

21. 难度：中等

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=.

（1）若M为PA中点，求证:AC∥平面MDE；

（2）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.

（3）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.

22. 难度：困难

如图，圆， 是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E

（1）求曲线E的方程；

（2）过点D(0，3)作直线m与曲线E交于A，B两点，点C满足 (O为原点)，求四边形OACB面积的最大值，并求此时直线m的方程；

（3）已知抛物线上，是否存在直线与曲线E交于G，H，使得G，H的中点F落在直线y=2x上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.