2020届吉林省长春市高三年级上学期第三次摸底数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

（       ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则（       ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

角的终边与单位圆交于点，则（       ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知向量，，设与的夹角为，则（       ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

设，，，则的大小关系为（       ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

若满足,则的最大值为

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

函数的图像大致是（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

设，则“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 难度：简单

已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（       ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（       ）

A.

B.

C.

D.

11. 难度：简单

设函数的定义域为，满足，且当时，.记当时，函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为，则（       ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知为锐角的外心，且三边与面积满足，若（其中是实数），则的最大值是（       ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为__________．

14. 难度：简单

如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.

15. 难度：简单

公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值为方程的正根，这一数值也可以表示为，则______.

16. 难度：中等

已知函数若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列的前项和为，且满足，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，记数列的前项和为，求证.

18. 难度：简单

如图，在中，内角的对边分别为，已知，点在边上.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，，且的面积与的面积之比为，求.

19. 难度：简单

如图，三棱柱的侧面是正方形，平面平面，，，点在上，，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）判断平面与平面是否垂直，直接写出结论，不必说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.

21. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）若为函数的极小值点，求的取值范围，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，，求的取值范围.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.

（Ⅰ）当时，判断直线与曲线的位置关系；

（Ⅱ）设直线与轴的交点为，且与曲线交于两点，且，求的值.

23. 难度：简单

设，，.

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）若，证明：.