江西省景德镇市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

过点且倾斜角为90°的直线方程为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

下列命题正确的是（    ）

A.经过任意三点有且只有一个平面.

B.过点有且仅有一条直线与异面直线垂直.

C.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行.

D.面与平面相交，则公共点个数为有限个.

3. 难度：简单

在正方体中，异面直线与所成角为（    ）

A.30° B.45° C.60° D.90°

4. 难度：简单

利用二分法求方程的近似解，可以取得的一个区间为（    ）

A.（0,1） B.（1,2） C.（2,3） D.（3,4）

5. 难度：简单

已知是直线，是平面，且满足，，，，，则下列结论：①；②；③；④.其中一定正确的命题的个数是（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6. 难度：简单

已知两直线与，若，则（    ）

A.2 B. C.1或 D.

7. 难度：简单

已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

如图所示为等腰直角三角形，为斜边的中点，，分别落在边上，且满足，若分别将、、沿着翻折时点能重合（两个三角形不共面），则满足条件（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为（    ）

A.（2,14） B.（2,8） C.（0,12） D.（2,12）

10. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示（网格中正方形的边长为1），则其表面积为（    ）

 

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ）

A. B. C.8 D.

12. 难度：中等

过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为60°，若，则该球的体积为（    ）

A. B. C. D.

13. 难度：困难

如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中两点在小球上，两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的夹角为，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

14. 难度：简单

若，，，，则直线与平面有_____个公共点；

15. 难度：简单

已知直线过一、三、四象限，其中，则点到直线的距离为______.

16. 难度：简单

如图正三棱锥，其中，，点分别为校的中点，则四面体的体积为______；

17. 难度：中等

已知函数，若方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为______；

18. 难度：困难

已知函数，则下列四组关于的函数关系：①；②；③；④，其中能使得函数取相同最大值的函数关系为______.

三、解答题

19. 难度：中等

已知点与点.

（1）求过点且与直线垂直的直线方程；

（2）求与直线平行且距离为的直线方程.

20. 难度：中等

如图四棱锥，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过三点的平面交侧棱于点.

 

（1）求证：点为侧棱的中点；

（2）若，求证：.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）求该函数的定义域；

（2）若函数仅存在两个零点，试比较与的大小关系.

22. 难度：中等

已知直线恒过定点.

（1）求点的坐标；

（2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值.

23. 难度：中等

如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

24. 难度：困难

如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中为直角顶点，.分别是线段上的动点，且四边形为平行四边形.

（1）求证：平面，平面；

（2）试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；

（3）设，且为等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为？