湖南省郴州市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则A∩B=（    ）

A.{1} B.{2} C.{3} D.{1，3}

2. 难度：简单

下列函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设则a，b，c的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知函数，则函数的零点所在区间为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几尺（注：1丈即10尺）？该问题的答案为34尺.若圆木长为3尺，圆周为2尺，同样绕圆木两周刚好顶部与圆木平齐，那葛藤最少又是长（    ）尺？

A.34尺 B.5尺 C.6尺 D.4尺

6. 难度：中等

设是直线，，是两个不同的平面（    ）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

7. 难度：简单

圆关于直线对称的圆的方程为（  ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

已知函数，若恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（    ）

A.①②③ B.②③ C.①②④ D.①②

10. 难度：中等

函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：（1）在[m，n]上是单调函数；（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（    ）个.

①②③

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

11. 难度：简单

已知空间两点，，则P，Q两点间的距离是__________.

12. 难度：简单

函数的定义域为__________.

13. 难度：简单

已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．

14. 难度：简单

已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为______________.

15. 难度：中等

如图所示，边长为2的正方形中，E、F分别是，的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S—EFG，使、、三点重合，重合后记为G，则三棱锥S—EFG的外接球的表面积为__________.

三、解答题

16. 难度：简单

（1）设集合，，求；

（2）计算：.

17. 难度：中等

如图所示，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D为的中点，点P为AB的中点.

 

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥B-CDP的体积.

18. 难度：中等

科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为该物质的数量，x为月份数，a，b，c，p，q，r为常数.

（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由.

（2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？

19. 难度：中等

已知圆C经过点，两点，且圆心C在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）设，对圆C上任意一点P，在直线MC上是否存在与点M不重合的点N，使是常数，若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由.

20. 难度：中等

已知函数为偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数，，是否存在实数m，使得的最小值为2，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.