2020届河北省高三年级上学期五调考试数学（理科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是(  )

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强

②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个

③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个

A.0 B.1 C.2 D.3

4. 难度：简单

函数的部分图象大致是（）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

若的展开式中的系数为，则实数的值为

A. B.2 C.3 D.4

7. 难度：中等

现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 难度：中等

鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（    ）（容器壁的厚度忽略不计）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知定义在上的偶函数对任意都有，当取最小值时，的值为（    ）

A.1 B. C. D.

11. 难度：中等

不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，向量与向量的夹角为，则________.

14. 难度：简单

如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，有下面三个结论：①点是的中心；②垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.

15. 难度：中等

已知F为抛物线的焦点，点A、B在抛物线上位于x轴的两侧，且＝12(其中O为坐标原点)，若的面积是，则的面积是______

16. 难度：中等

已知的内角，，的对边分别是，，，且满足，则__________．若为边上的一点，且满足，，锐角三角形的面积为，则_________．

三、解答题

17. 难度：简单

在2018、2019每高考数学全国Ⅰ卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2018年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2019年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2019年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题):

第22题的得分统计表

得分	0	3	5	8	10
理科人数	50	50	75	125	200
文科人数	25	25	125	0	25

第23题的得分统计表

得分	0	3	5	8	10
理科人数	30	52	58	60	200
文科人数	5	10	10	5	70

(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；

	选做22题	选做23题	总计
理科人数
文科人数
总计

(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.

附:

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，,点是的中点.

 

（1）求证: 平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

已知单调等比数列中，首项为 ，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件

(Ⅰ) 求数列、的通项公式；

(Ⅱ) 设 ,记数列的前项和 .

①求 ;②求正整数，使得对任意，均有 .

20. 难度：中等

如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.

（1）证明：平面；

（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

21. 难度：困难

已知椭圆C：过点，且离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程．

22. 难度：困难

已知函数．

（1）若，证明：．

（2）若函数在处有极大值，求实数的取值范围．