人教B版(2019) 必修第四册 过关斩将 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离

一、单选题

1. 难度：简单

如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

海上两个小岛相距10千米，从岛望岛和岛成30°的视角，从岛望岛和岛成105°的视角，则间的距离是（    ）

A.5千米 B.千米 C.10千米 D.千米

3. 难度：简单

某船在海平面处测得灯塔在北偏东60°方向，与相距6千米处.该船由处向正北方向航行8千米到达处，这时灯塔与船相距（    ）

A.6千米 B.千米 C.千米 D.8千米

4. 难度：中等

某炮兵阵地位于点，两个观察所分别位于，两点，已知为等边三角形，且，当目标出现在点（，两点位于两侧）时，测得，，则炮兵阵地与目标的距离约为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

5. 难度：简单

如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点，，望对岸标记物，测得，，，则河的宽度为______．

6. 难度：中等

如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为__________．

三、单选题

7. 难度：简单

如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，，且两点之间的距离为，则树的高度为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )

A.5 B.10 C.10 D.10

9. 难度：中等

如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为（    ）

A. B. C. D.

四、填空题

10. 难度：简单

如图，是海平面上的两个点，相距，在点测得山顶的仰角为45°，，又在点测得，其中点是点在海平面上的射影，则山高为______.

五、单选题

11. 难度：简单

如图所示，两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站南偏西40°方向上，灯塔在观察站南偏东60°方向上，则灯塔在灯塔的方向上（    ）

A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80°

六、填空题

12. 难度：简单

如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为25的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得         ．

七、解答题

13. 难度：中等

甲船在A处观察到乙船在它的北偏东的B处，此时两船相距akm．乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍．试问：甲船以什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船已行驶了多少千米？

14. 难度：中等

某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？

八、单选题

15. 难度：简单

长为3.5m的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤脚1.4m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，堤对地面的倾斜角为，则坡度值等于

A. B.

C. D.

16. 难度：简单

如图所示，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走（结果精确到；参考数据：，）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（    ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

甲船在岛正南方向的处，以每小时4千米的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自岛出发，以每小时6千米的速度向北偏东60°方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（    ）

A.分钟 B.分钟 C.21.5分钟 D.2.15小时

19. 难度：中等

据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向的处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（    ）

A. B. C. D.

20. 难度：中等

如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（    ）

A. B. C. D.

21. 难度：中等

某小区打算将如图所示的区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形，在其内部建造文化景观，已知，，则区域面积（单位：）的最小值为（    ）

A. B.25 C. D.

九、填空题

22. 难度：简单

一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么_____________ cm.

23. 难度：中等

如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．

24. 难度：简单

如图，某山上原有一条笔直的山路，现在又新建了一条索道，小李在山脚处测得，从处攀登400米后到达处，在处测得，从处再攀登800米到达处，则索道的长度为________米.

25. 难度：中等

如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则______________．

十、解答题

26. 难度：中等

如图，两点在河的同侧，且两点均不可到达，为了测出两点间的距离，测量者在河岸边选定两点，测得，同时在两点分别测得，，，求两点间的距离.

27. 难度：中等

如图，某人在塔的正东方向上的处在与塔垂直的水平面内沿南偏西的方向以每小时千米的速度步行了分钟以后，在点处望见塔的底端在东北方向上，已知沿途塔的仰角，的最大值为．

（1）求该人沿南偏西的方向走到仰角最大时，走了几分钟；

（2）求塔的高．

28. 难度：中等

如图，一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市且与海岸距离为的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.

（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？

（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.