黑龙江省2019-2020学年高二上学期开学考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设为实数，且，则下列不等式正确的是（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（     ）

A. B. C.1 D.

3. 难度：中等

已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）

A.若则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

4. 难度：简单

设等差数列的前项和为，若，，则(     )

A.20 B.23 C.24 D.28

5. 难度：中等

如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　)

A.[0,)

B.[0,2)

C.[1,)

D.[1,2)

6. 难度：简单

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（    ）

A.192里 B.48里 C.24里 D.96里

7. 难度：中等

已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（    ）

A.  B.  C.  D. 都不对

8. 难度：简单

若在中，，则此三角形的形状是(   )

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

9. 难度：中等

已知函数f(x)=sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cos图象上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则=(　　)

A.9+ B.9- C.4+ D.4-

10. 难度：中等

的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，求的最小值__________．

14. 难度：中等

过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____

15. 难度：中等

记为数列的前项和，若，则_____________．

16. 难度：简单

在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积__________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，.

（1）若，求；

（2）当时，求的最值.

18. 难度：中等

已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，，，.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求

19. 难度：简单

已知分别是的三个内角的对边，是的面积，，且.

（1）求角的大小；

（2）求的面积的最大值.

20. 难度：简单

已知正项数列的前项和为是与的等比中项.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，数列的前项和为，求.

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

22. 难度：困难

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．