2020届北京市高三（12月）月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数的共轭复数是

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若集合，，则(    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若a>b，则

A.ln(a−b)>0 B.3^a<3^b

C.a³−b³>0 D.│a│>│b│

4. 难度：中等

设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A. α内有无数条直线与β平行

B. α内有两条相交直线与β平行

C. α，β平行于同一条直线

D. α，β垂直于同一平面

5. 难度：中等

已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是.若，，成等比数列，则(    )

A.， B.，

C.， D.，

6. 难度：中等

已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（   ）

A.在上单调递减 B.在上单调递减

C.在上单调递增 D.在上单调递增

7. 难度：中等

已知点D，E分别是边长为1的正的边AB，BC的中点，F是DE的中点，则的值为(    )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

二、填空题

9. 难度：简单

已知，，且，则向量与向量的夹角是________.

10. 难度：简单

设等差数列的前n项和为，若，，则________.

11. 难度：中等

某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

12. 难度：中等

设函数f（x）=e^x+ae^−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

13. 难度：困难

已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.

14. 难度：中等

设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”. 现给出下列函数：

①；

②；

③；

④是定义在实数集上的奇函数，且对一切均有.

其中是“条件约束函数”的序号是__________（写出符合条件的全部序号）.

三、解答题

15. 难度：中等

在锐角中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)求函数的值域.

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，直线，，设圆C的半径为1，圆心在上.

(1)若圆心C也在直线上，①求圆C的方程；

②过点作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆在直线截得的弦长为，求圆C的方程.

17. 难度：困难

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2

（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；

（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数（为自然对数的底数）

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）求函数的极值；

（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

19. 难度：困难

已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．

求椭圆的方程；

设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；

设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．

20. 难度：困难

设正整数数列满足.

(1)若，请写出所有可能的的取值；

(2)求证：中一定有一项的值为1或3；

(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.