2020届湖南省长沙市高三第二次月考数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

设i为虚数单位，若复数满足 ，则（   ）

A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i

3. 难度：中等

路公共汽车每分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

在等差数列中,，则（ ）

A. 5 B. 8 C. 10 D. 14

5. 难度：简单

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）

A.如果//,//，那么// B.如果//,，那么//

C.如果，那么// D.如果//,//，那么//

6. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线与直线0垂直，则双曲线的离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

7. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出的是“”，则输入整数P的最大值为（    ）

A.6 B.7 C.8 D.15

8. 难度：简单

已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，则（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

直三棱柱中，中点为，中点为，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A.1 B. C. D.0

10. 难度：简单

已知函数，则的大致图像是（  ）

A.  B.  C.  D.

11. 难度：简单

点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，的夹角为，且，，则=_________.

14. 难度：简单

若实数满足约束条件，，则的最大值为________.

15. 难度：中等

已知直线与抛物线相交于两点.是坐标原点，点在抛物线的弧上（直线的下方的弧），当面积最大时，点坐标为__________.

16. 难度：困难

已知，，若关于的方程（为实数）有两个不等的实根，且，则的最小值为_______.

三、解答题

17. 难度：简单

的内角A，B，C的对边分别为，已知.

（I）求B；

（II）若的周长为的面积.

18. 难度：简单

某学校为了了解该校某年级学生的阅读量（分钟），随机抽取了n名学生，调查他们一天的阅读时间，统计结果下图表所示：

组号	分组	男生 人数	男生人数占本 组人数的频率	频率分布直方图
第1组		5	0.5
第2组		18	0.9
第3组		24	0.8
第4组			0.4
第5组		3	0.2

（1）求出与的值；

（2）—天的阅读时间不少于35分钟称为“喜好阅读者”.根据以上数据，完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“喜好阅读者”与“性别”有关？

	喜好阅读者	非喜好阅读者	合计
男生
女生
合计

附：（其中为样本容量）.

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点.

（1）求证：平面平面；

（2）当//平面时，求与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.

21. 难度：中等

已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若经过的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得为定值？若存在，求岀点的坐标;若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若射线分别与曲线，交于，两点(异于极点)，求的值.

23. 难度：中等

已知．

（1）在时，解不等式；

（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．