2020届湖南省长沙市高三第6次月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知数列是等差数列，且，则的值为（    ）.

A. B. C. D.

3. 难度：简单

如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（    ）

A.7 B.8

C.9 D.10

4. 难度：简单

设是非零向量,则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知(1＋ax)·(1＋x)⁵的展开式中x²的系数为5，则a＝

A.－4 B.－3

C.－2 D.－1

6. 难度：中等

若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象(  )

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

7. 难度：简单

如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（立水即略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（    ）

A.62 B.67 C.72 D.82

8. 难度：中等

某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知偶函数的定义域为R，当时，函数，若函数有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（     ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

已知点与点在直线的两侧，给出下列命题：   

①；

②当时，有最小值，无最大值；

③存在正实数，使得恒成立；

④当且，时，的取值范围是．

其中正确的命题是（    ）

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

11. 难度：中等

设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.3

12. 难度：中等

已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒成立．则实数m（    ）

A.有最大值 B.有最大值e C.有最小值e D.有最小值

二、填空题

13. 难度：简单

若复数满足，则的虚部为______.

14. 难度：中等

过抛物线的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，以为直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为2，则的值为______.

15. 难度：中等

如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.

16. 难度：困难

已知球与棱长为的正方体的所有棱相切,点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是_______.

三、解答题

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记

（1）求函数的值域

（2）在中，角的对边分别为．若，，，求的面积．

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点， ≌，，，接交于．

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的余弦值

19. 难度：困难

在中，，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;

（Ⅱ）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线 关于直线对称，求面积的取值范围.

20. 难度：中等

某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．

（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．

21. 难度：中等

已知函数（R）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．

22. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知圆的参数方程为（，为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点与曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．

23. 难度：中等

设函数．

（1）若，，解不等式；

（2）若对任意满足的实数，都有成立，求的最大值．