江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设，分别是平面，的法向量，若，则实数t的值是（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

2. 难度：简单

设点P为椭圆上一点，则点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形周长为（    ）

A.14 B.15 C.16 D.17

3. 难度：简单

把一个体积为，表面涂有红色的正方体木块锯成64个体积为的小正方体，从这64个小正方体中随机的抽取出一块，则这1块至少有1面涂有红色的概率是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

若双曲线的一条渐近线的斜率是，则实数k的值为（    ）

A.4 B. C. D.

5. 难度：简单

已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（    ）

A.1 B. C.0 D.

6. 难度：简单

已知双曲线的左右顶点分别是，，M是双曲线上任意一点，若直线，的斜率之积为5，则该双曲线的离心率为（    ）

A.3 B. C.6 D.

7. 难度：简单

一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2m时，水面宽为2m，若水面下降4m，则水面宽度为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

A.1 B. C. D.2

10. 难度：中等

已知F是抛物线的焦点，过点F作倾斜角为的直线与抛物线交于P，Q两点，若，则（    ）

A. B. C. D.

二、多选题

11. 难度：简单

已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ）

A. B.

C.是平面ABCD的一个法向量 D.

12. 难度：中等

数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（    ）

A.曲线C关于坐标原点对称

B.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到原点的距离最小值为1

D.曲线C所围成的区域的面积小于4

三、填空题

13. 难度：简单

在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.

14. 难度：简单

已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为________.

15. 难度：简单

今年，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨），

	“厨余垃圾”箱	“可回收垃圾”箱	“其他垃圾”箱
厨余垃圾	400	100	100
可回收垃圾	30	230	30
其他垃圾	20	20	70

则估计生活垃圾投放错误的概率是________.

16. 难度：困难

设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________.

四、解答题

17. 难度：简单

从4名男生和2名女生中随机选出2人参加演讲比赛.

（1）求所选2人恰有1名男生的概率；

（2）求所选2人中至少有1名女生的概率.

18. 难度：中等

在长方体中，，，，E为的中点.

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）若F为BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：简单

若椭圆经过点离心率为，过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点.

（1）求实数a，b的值；

（2）若，求直线AB的方程.

20. 难度：简单

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，又平面ABD.

（1）若，求证：；

（2）若二面角的大小为，求线段AE的长.

21. 难度：中等

设点A是抛物线上到直线的距离最短的点，点B是抛物线上异于点A的一点，直线AB与l交于P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点C.

（1）求点A的坐标；

（2）求证：直线BC过定点；

（3）求面积的最小值.