2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知复数在复平面内对应的点分别为，则（  ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

设，则“”是“”的（  ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

向量满足，，，则向量与的夹角为（）

A.45° B.60° C.90° D.120°

4. 难度：简单

已知数列中,,.若为等差数列,则(    )

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是(    )

A.4 B.3 C.2 D.1

6. 难度：中等

在中,,,若,则(    )

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知双曲线C:,(,)的左､右焦点分别为,, O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,,(),,则双曲线C的渐近线方程为(    )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知奇函数是R上增函数,则(    )

A.

B.

C.

D.

二、多选题

9. 难度：中等

如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是(    )

A.直线与平面所成的角等于

B.点C到面的距离为

C.两条异面直线和所成的角为

D.三棱柱外接球半径为

10. 难度：中等

要得到的图象,只要将图象怎样变化得到(    )

A.将的图象沿x轴方向向左平移个单位

B.将的图象沿x轴方向向右平移个单位

C.先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位

D.先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位

11. 难度：困难

已知集合,若对于,,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为(    )

A.函数是偶函数

B.,,恒成立

C.任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立

D.不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形

三、填空题

13. 难度：简单

已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为________．

14. 难度：简单

已知直线与曲线相切，则=      

15. 难度：中等

2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足(表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:,,)

16. 难度：中等

已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为______.

四、解答题

17. 难度：中等

已知.

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;

(2)求函数在区间的取值范围.

18. 难度：简单

在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,.

(1)求;

(2)求的面积S.

19. 难度：中等

设数列的前n项和为,已知,,.

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;

(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

20. 难度：中等

《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.

(1)求证:四棱锥为阳马;

(2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.

21. 难度：中等

给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.

(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;

(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.

22. 难度：困难

已知函数,为的导函数.

(1)求证:在上存在唯一零点;

(2)求证:有且仅有两个不同的零点.