2020届云南省昆明市高三第三次双基检测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设，则复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知向量，，若，则（    ）

A.－2 B.2 C. D.

4. 难度：简单

若，，则下列不等式正确的是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（，781—1864）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例（），泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数.已知四棱锥底面是边长约为756英尺的正方形（），顶点的投影在底面中心，为中点.根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（    ）

A.233.6 B.481.4 C.512.4 D.611.6

6. 难度：简单

某食品厂做了4种与“福”字有关的卡片，分别是“富强福”、“民主福”、“文明福”、“和谐福”，每袋食品随机等可能的装入一张卡片，只有集齐4种卡片才可获奖，若购买该食品4袋，获奖的概率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

函数则函数的零点个数为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

8. 难度：简单

执行如图的程序框图，如果输出的，则图中判断框内应填入（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则（    ）

A.40 B.56 C.72 D.120

10. 难度：简单

已知椭圆：的右焦点为，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（    ）

A. B. C.1 D.2

11. 难度：中等

已知函数，若且在上有且仅有三个零点，则（    ）

A.或6 B.或8 C. D.

12. 难度：中等

在棱长为2的正方体中，为线段的中点，在平面中取一个点，连接，，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为______.

14. 难度：中等

记为等差数列的前项和.若，，则______.

15. 难度：简单

已知随机变量，且，则______.

16. 难度：简单

已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，，若是线段的中点，且，则双曲线的离心率为______.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角，，所对的边长分别为，，，.

（1）求；

（2）若，，是边的中点，求的长.

18. 难度：中等

如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，且为棱中点，为棱中点.

（1）证明：平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

19. 难度：中等

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.

20. 难度：困难

已知动圆P与圆：内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过曲线上一点（）作两条直线，与曲线分别交于不同的两点，，若直线，的斜率分别为，，且.证明：直线过定点.

21. 难度：困难

定义在的函数的导函数为.

证明：（1）在区间存在唯一极小值点；

（2）有且仅有2个零点.

22. 难度：中等

已知斜率为1的直线经过点.

（1）写出直线的参数方程；

（2）设直线与圆相交于，两点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求的最大值；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.