重庆市2019届高三下学期4月月考（文科）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知：，（其中i为虚数单位），则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

函数的最小正周期为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知向量，则（    ）

A. B.2 C. D.

5. 难度：中等

如图所示：茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在某项测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数和乙组数据的中位数均为17，则的值为（    ）

A.8 B.9 C.10 D.11

6. 难度：中等

已知双曲线的方程为，则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

设x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

8. 难度：中等

下列函数中，在内是增函数的是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：

甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.”

乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.”

丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”

结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（  ）

A.甲、乙 B.乙、丙 C.丙、丁 D.甲、丁

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的值，那么判断框内的条件应为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知棱长为3的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的体积为（    ）

A.9 B. C.18 D.

12. 难度：中等

过抛物线的焦点作一条直线l与双曲线的一条渐近线平行，且交抛物线C于A、B两点，若，则的值为（    ）.

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数，则的最大值为_____________.

14. 难度：简单

已知定义在上的函数满足：任意，都有，且当时，，则____________.

15. 难度：中等

直三棱柱的底面为直角三角形，且斜边的长为4，若直三棱柱的高为8，则这个直三棱柱外接球的表面积为_________.

16. 难度：中等

已知动点满足不等式：（为参数），则动点P的轨迹所围成的封闭图形的面积为_________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．

(1)求数列与的通项公式；

(2)求数列的前项和．

18. 难度：中等

十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开为了了解某校大学生对两会的关注程度，学校媒体在开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了180人，对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查，统计数据如下：

	收看	没收看
男生	80	40
女生	30	30

（1）根据上表说明，在犯错误的概率不超过1%的前提下，能否认为该校大学生收看开幕会与性别有关？（计算结果精确到0.001）

（2）现从随机抽取的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取6人，来参加2019年两会的志愿者宣传活动，若从这6人中随机选取2人到各班级宣传介绍，求恰好选到一名男生和一名女生的概率. 附，其中.

	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

19. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD.

（1）证明：平面平面PAC；

（2）若异面直线PD与AB所成角的余弦值为，且，求四棱锥的体积.

20. 难度：困难

已知在平面直角坐标系中，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C与椭圆的离心率相同，且椭圆C短轴的顶点与椭圆E长轴的顶点重合.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l与椭圆E有且仅有一个公共点，且与椭圆C交于不同两点A，B，求的最大值.

21. 难度：困难

已知函数（其中e为自然对数的底）.

（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若，证明：存在唯一的极小值点，且.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；

（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的面积.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解不等式：；

（2）设函数的最小值为a，正实数m，n满足，求证：.