2020届山西省高三上学期质量检测数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

某大型商场统计周一至周五某型号洗衣机的销售量（单位：台），得到如下茎叶图，则该样本的中位数与平均数之差是（    ）

A.6 B.2 C.-2 D.-6

4. 难度：中等

已知程序框图如图，则输出i的值为　　

A.7 B.9 C.11 D.13

5. 难度：简单

设是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在中，是的中点，，点在上，且满足，则等于（    ）

A. B.-1 C.1 D.

7. 难度：简单

某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥最大的侧面的面积为（    ）

A. B. C. D.3

8. 难度：简单

等差数列中，是函数的两个极值点，则（    ）

A. B.4 C. D.

9. 难度：中等

已知抛物线：的焦点为，为的准线，轴，轴，、交抛物线于、两点，交于、两点，已知的面积是的2倍，则中点到轴的距离的最小值为（    ）

A. B.1 C. D.2

10. 难度：简单

如图所示，设，是某抛物线上相异两点，将抛物线在，之间的弧线与线段围成的区域记为；弧线上取一点，使抛物线在点处的切线与线段平行，则三角形内部记为区域.古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家阿基米德在公元前3世纪，巧妙地证明了与两区域的面积之比为常数，并求出了该常数的值.以抛物线上两点，之间的弧线为特例，探求该常数的值，并计算：向区域内任意投掷一点，则该点落在内的概率是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

已知双曲线：，为坐标原点，为右焦点，过点的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若为直角三角形，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

已知正方体棱长为1，是的中点，点是面所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

7个大小、材质完全相同小球分别编号1，2，4，5，6，9，10，现从中取出3个，则它们编号之和为奇数的取法共有______种.

14. 难度：简单

有4个命题：

①“若，则”的逆命题；

②“能被5整除的数末位数字一定是0”或“能被5整除的数末位数字一定是5”；

③“”是“”的充分条件；

④“存在，使得”的否定.

则上述命题中，所有真命题的序号是______.

15. 难度：简单

已知实数，满足，则的取值范围是______.

16. 难度：困难

已知函数，若对恒成立，则的值为______.

三、解答题

17. 难度：简单

设数列中，

（1）求数列的通项公式

（2）令，求数列的前项和

18. 难度：简单

已知平行四边形中，，，，是线段的中点，沿将翻折到，使得平面平面.

 

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：简单

在中，，，分别是角，，的对边，且，，成等差数列.

（1）若，，成等差数列，求的值；

（2）若，求的值.

20. 难度：简单

某书店今年5月上架10种新书，且它们的首月销量（单位：册）情况为：100，50，100，150，150，100，150，50，100，100，频率为概率，解答以下问题：

（1）若该书店打算6月上架某种新书，估计它首月销量至少为100册的概率；

（2）若某种最新出版的图书订购价为10元/册，该书店计划首月内按12元/册出售，第二个月起按8元/册降价出售，降价后全部存货可以售出.试确定，该书店订购该图书50册，100册，还是150册有利于获得更多利润？

21. 难度：中等

设椭圆：的左右焦点分别为，，离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点的坐标为，直线：不过点且与椭圆交于、两点，设为坐标原点，，求证：直线过定点.

22. 难度：困难

已知函数，.

（1）若，试求函数的零点个数；

（2）当，对，且满足，试判断与的大小关系，并说明理由.