四川省成都市2018-2019学年高二上学期12月月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若圆的方程为x²+y²﹣2x+4y+1＝0，则该圆的圆心和半径r分别为（    ）

A.（1，﹣2）；r＝2 B.（1，-2）；r＝4

C.（-1，2）；r＝2 D.（-1，2）；r＝4

2. 难度：简单

从随机编号为0001，0002，……，5000的5000名参加成都市零诊考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的三个编号分为0018，0068，0118，则样本容量是（    ）

A.20 B.50 C.100 D.200

3. 难度：简单

某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ）

A.648 B.512 C.729 D.1000

5. 难度：中等

直线l过原点交椭圆16x²+25y²＝400于A、B两点，则|AB|的最大值为（    ）

A.8 B.5 C.4 D.10

6. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为(　　)

A. -10 B. 6

C. 14 D. 18

7. 难度：中等

从抛物线y²＝8x上各点向x轴作垂线段，则垂线段中点的轨迹方程为（    ）

A.y²＝4x B.y²＝2x C.y²＝x D.y²x

8. 难度：简单

如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ）

A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

9. 难度：简单

从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（ ）

A.，

B.，

C.，

D.，

10. 难度：中等

已知双曲线C：y²＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（    ）

A. B.2 C.3 D.6或3

11. 难度：中等

过抛物线x²＝2py（p＞0）的焦点F作斜率为的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴的左侧），则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在平面直角坐标系上，矩形ABCD，顶点A（6，2），若点B，D是圆（x﹣3）²+（y﹣3）²＝12上两动点，点C是圆（x﹣3）²+（y﹣3）²＝14上动点，则这样的ABCD有多少个（    ）

A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个

二、填空题

13. 难度：简单

双曲线16y²﹣9x²＝1的渐近线方程为_____．

14. 难度：简单

乘积（a₁+a₂+a₃）（b₁+b₂+b₃+b₄）（c₁+c₂+c₃+c₄+c₅）展开后共有_____项．

15. 难度：中等

圆H：（x﹣1）²+（y﹣2）²＝2上有一动点P，圆内有一点A（），求∠APH最大时的余弦值_____．

16. 难度：中等

已知实数x，y满足，（x、y∈Z），每一对整数（x，y）对应平面上一个点，以其中任意两个不同点分别为向量的起点和终点，得到一组模长或方向不同的向量，从这组向量中随机取出一个向量，其模长不超过2的概率_____．

三、解答题

17. 难度：简单

某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米．在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？

18. 难度：中等

学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．

分组	频数	频率
[40，50）	A	0.04
[50，60）	4	0.08
[60，70）	20	0.40
[70，80）	15	0.30
[80，90）	7	B
[90，100]	2	0.04
合计	C	1

（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；

（2）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；

（3）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．

19. 难度：中等

已知椭圆C：1（a＞b＞0），椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9，最小值为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求椭圆C上的点到直线l：4x﹣5y+40＝0的最小距离？

20. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）＝ax²﹣2bx+8．

（1）设集合P＝{1，2，3}和Q＝{2，3，4，5}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间（﹣∞，2]上有零点且为减函数的概率？

（2）设集合P＝[1，3]和Q[2，5]，分别从集合P和Q中随机取一个实数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间（﹣∞，2]上有零点且为减函数的概率？

21. 难度：困难

已知线段AB的端点B的坐标是（4，2），端点A在圆C：（x+2）²+y²＝16上运动．

（1）求线段AB的中点的轨迹方程H．

（2）判断（1）中轨迹H与圆C的位置关系．

（3）过点P（3，2）作两条相互垂直的直线MN，EF，分别交（1）中轨迹H于M，N和E，F，求四边形MNFE面积的最大值

22. 难度：中等

已知椭圆C：1左右焦点为F₁，F₂直线（1）xy0与该椭圆有一个公共点在y轴上，另一个公共点的坐标为（m，1）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上任一点，过焦点F₁，F₂的弦分别为PM，PN，设λ₁λ₂，求λ₁+λ₂的值．