2020届湖南省长沙市高三月考试卷（四）数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设，则

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列命题中，表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．

①若，，则；  ②若，，则；

③若，，则；   ④若，，，则．

正确的命题是（　  　）

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

4. 难度：中等

将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来

的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（    ）

A.55 B.110 C.58 D.220

6. 难度：简单

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. B.8 C.4 D.

7. 难度：简单

若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

假设有两个分类变量和的列联表如下：

			总计
		10
		30
总计	60	40	100

对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为（   ）

A.， B.，

C.， D.，

9. 难度：简单

法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（    ）

A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎

10. 难度：困难

已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）

A.  B. 3 C. 6 D.

11. 难度：困难

已知分别是函数图象上不同的两点处的切线，分别与轴交于点，且与垂直相交于点，则的面积的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

设，向量，且，则 ______ ．

14. 难度：简单

有4名优秀学生、、、全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每名学生只能被保送到1所学校，每所学校至少1名，则不同的保送方案共有______种.（填写数字）

15. 难度：困难

定义在上的连续函数满足，且在上的导函数，则不等式的解集为__________．

16. 难度：中等

如图，在中，已知角、、对应的边分别为，，，其中，且，是边上一点，若，则的周长的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：困难

已知正项数列的前项和为，且是4与的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：困难

已知椭圆：，设直线：是椭圆的一条切线，两点和在切线上.

（1）若，，，中恰有三点在椭圆上，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，证明：当，变化时，以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.

20. 难度：困难

已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间有唯一零点，证明：.

21. 难度：困难

据长期统计分析，某货物每天的需求量在17与26之间，日需求量（件）的频率分布如下表所示：

需求量	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
频率	0.12	0.18	0.23	0.13	0.10	0.08	0.05	0.04	0.04	0.03

已知其成本为每件5元，售价为每件10元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元.假设每天的进货量必需固定.

（1）设每天的进货量为，视日需求量的频率为概率，求在每天进货量为的条件下，日销售量的期望值（用表示）；

（2）在（1）的条件下，写出和的关系式，并判断为何值时，日利润的均值最大？

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）.

（I）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点， ，，若的最大值为2，求的值.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（I）求函数的最大值；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围.