浙江省宁波市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

方程表示的曲线是（    ）

A.一条射线 B.双曲线

C.双曲线的左支 D.双曲线的右支

2. 难度：简单

已知,则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.即不充分也不必要条件

3. 难度：简单

“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　)

A. 红豆生南国    B. 春来发几枝

C. 愿君多采撷    D. 此物最相思

4. 难度：中等

已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是（    ）

A.α⊥β且m⊂β B.α⊥β且m∥β C.α∥β且m⊥β D.m⊥n且n∥α

5. 难度：简单

在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点，若点P（1，﹣2，3）在平面xOz上的投影为点B，则线段OB的长度为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（    ）

A.命题“若⊥，则•0”的否命题为“若⊥，则•0”

B.命题“函数f（x）＝（a﹣1）^x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）＝（a﹣1）^x是R上的减函数”

C.命题“在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B”的逆否命题为真命题

D.命题“若x＝2，则x²﹣3x+2＝0”的逆命题为真命题

7. 难度：中等

已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，点E为平面BCC₁B₁的中心，则直线DE与平面ACD₁所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：困难

设双曲线的上焦点为F，过点F作与y轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则双曲线的离心率e的值是（    ）

A.3 B. C. D.

9. 难度：困难

设抛物线y²＝8x的焦点为F，经过定点P（a，0）（a＞0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，|AF|+2|BF|＝9，则a＝（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

10. 难度：困难

四棱锥P﹣ABCD中，已知，|AB|＝|AD|＝a，|AP|＝b，|PC|＝1，则b的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

双曲线的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____．

12. 难度：中等

已知，．若，则μ＝_____；若，则λ+μ＝_____．

13. 难度：中等

已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．

14. 难度：中等

若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离少1，则动点P的轨迹C的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C的切线l，则切线l的方程为_____

15. 难度：中等

在四面体ABCD中，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB＝2，，则二面角B﹣AD﹣C的余弦值为_____．

16. 难度：中等

四边形ABCD的各个顶点依次位于抛物线y＝x²上，∠BAD＝60°，对角线AC平行x轴，且AC平分∠BAD，若，则ABCD的面积为_____．

17. 难度：困难

已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆E的左顶点和上顶点，直线AB与圆C：x²+y²＝c²相离，其中c是椭圆的半焦距，P是直线AB上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e²的取值范围是_____．

三、解答题

18. 难度：中等

已知a＞0，且a≠1．命题P：函数f（x）＝log_ax在（0，+∞）上为增函数；命题Q：函数g（x）＝x²﹣2ax+4有零点．

（1）若命题P，Q满足P真Q假，求实数a的取值范围；

（2）命题S：函数y＝f（g（x））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S为真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，，BD＝2．

（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；

（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

20. 难度：困难

如图，已知椭圆，过动点M（0，m）的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P（其中P在第一象限，N在椭圆内），且M是线段PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，延长QM交C于点B，记直线PM，QM的斜率分别为k₁，k₂．

（1）当时，求k₂的值；

（2）当时，求直线AB斜率的最小值．

21. 难度：中等

如图，△ABC为正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．

（1）当AD＝2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；

（2）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．

22. 难度：困难

已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求实数t的取值范围．