2020届高三1月（考点07）（文科）-《新题速递·数学》

一、单选题

1. 难度：中等

唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围为　　

A. B. C. D.

2. 难度：中等

某几何体的三视图如何所示，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.0

4. 难度：中等

已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

6. 难度：简单

已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球O的表面积为____．

7. 难度：中等

如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）

8. 难度：中等

已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.

9. 难度：简单

如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．

10. 难度：简单

如图所示，六氟化硫的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子恰好在正八面体的顶点上，而硫原子恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.

三、解答题

11. 难度：中等

如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.

（1）证明：为的中点.

（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.

12. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．

（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；

（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

在如图所示的三棱柱中，底面ABC，.

（1）若，证明：；

（2）若底面ABC为正三角形，求点到平面的距离.

14. 难度：中等

如图，在四棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，且.

（1）证明：平面平面.

（2）若四棱锥的体积为4，求四面体的表面积.

15. 难度：中等

如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积．

16. 难度：中等

如图甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图乙所示的四棱锥P-ABCD（E，F重合，记为点P）.

   

甲            乙

（1）求证：；

（2）求点M到平面BDP距离h.