北京市2019-2020学年高三期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（      ）

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

3. 难度：简单

已知数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，则（    ）

A. B. C.0 D.15

4. 难度：简单

设为单位向量，，则的最大值为（    ）

A.2 B. C.1 D.0

5. 难度：中等

设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（   ）.

A. B. C. D.

8. 难度：中等

三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票，如果三位专家都投票的作品列为等，两位专家投票的列为等，仅有一位专家投票的作品列为等，则下列说法正确的是（    ）

A.等和等共6幅 B.等和等共7幅

C.等最多有5幅 D.等比等少5幅

二、填空题

9. 难度：简单

命题“”的否定是___________.

10. 难度：简单

已知的面积为，，，则_______.

11. 难度：简单

若，则=_________________

12. 难度：简单

已知函数与函数的图象在点处有相同的切线，则的值为______.

13. 难度：中等

某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，.规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令，其中，且，则班内同时同意1，2号同学当选的人数可以用含式子表示为_____.

14. 难度：简单

设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是           ．

三、解答题

15. 难度：中等

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

	0
	0	5			0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

16. 难度：中等

设是一个公比为的等比数列，且它的前4项和，，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为上异于的点.

（1）求证：平面平面；

（2）当与平面所成角为时，求的长；

（3）当时，求二面角的余弦值.

18. 难度：困难

平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

19. 难度：中等

已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x²−2ax+4a−2}，

其中min{p，q}=

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x²−2ax+4a−2成立的x的取值范围；

（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；

（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

20. 难度：中等

对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”．定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令

3，…．

（Ⅰ） 若数列：求数列；

（Ⅱ） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；

（Ⅲ）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，．求关于的表达式．