2020届河北省保定市高三上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知外接圆半径为1，圆心为，若，则面积的最大值为（    ）

A.2 B. C. D.1

5. 难度：简单

设点为，所表示的平面区域内的动点，若在上述区域内满足最小时所对应的点为，则与（为坐标原点）的夹角的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知递增等差数列中，，则的（    ）

A.最大值为 B.最小值为4 C.最小值为 D.最大值为4或

7. 难度：简单

如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积为（    ）

A.5 B.6 C.7 D.8

9. 难度：简单

函数的零点所在的区间为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

下列说法正确的个数为（    ）

①“为真”是“为真”的充分不必要条件；

②若数据的平均数为1，则的平均数为2；

③在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为

④已知随机变量服从正态分布，且，则.

A.4 B.3 C.2 D.1

11. 难度：中等

若直线与函数和的图象都相切，则（    ）

A.2或 B.1或 C.0或1 D.

12. 难度：中等

正方形中，若，在底面内运动，且满足，则点的轨迹为（    ）

A.圆弧 B.线段 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

二、填空题

13. 难度：简单

二项式的展开式中项的系数为__________．

14. 难度：中等

如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则该函数的表达式为________．

15. 难度：简单

若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这个三位数为“递增三位数”.现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为__________．

16. 难度：困难

已知数列中，，其前项和为，且满足，则__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知的三个内角，，所对的边分别为，设，.

（1）若，求与的夹角；

（2）若，求周长的最大值.

18. 难度：中等

已知数列满足为等比数列，且，，.

（1）试判断列是否为等比数列，并说明理由；

（2）求.

19. 难度：中等

如图，几何体中，，均为边长为2的正三角形，且平面平面，四边形为正方形.

（1）若平面平面，求证:平面平面；

（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

设椭圆的一个焦点为，四条直线，所围成的区域面积为.

（1）求的方程；

（2）设过的直线与交于不同的两点，设弦的中点为，且（为原点），求直线的方程.

21. 难度：困难

已知函数满足:①定义为；②.

（1）求的解析式；

（2）若；均有成立，求的取值范围；

（3）设，试求方程的解.

22. 难度：中等

某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.

方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组个人的血总共需要化验次.

假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设.试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.