2020届湖南省长沙市高三月考试卷（四）数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数在复平面内对应的点位于（  ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

设为非零向量，则“”是“方向相同”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

若集合，则实数的值为（　　）

A. B.2 C. D.1

4. 难度：简单

已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为

A.  B.

C.  D.

二、多选题

5. 难度：简单

在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（    ）

A.成绩在分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

三、单选题

6. 难度：简单

在矩形中，,．若点，分别是，的中点，则（   ）

A.4 B.3 C.2 D.1

7. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

8. 难度：简单

已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

若函数的大致图象如图所示，则的解析式可以是

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知点是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

已知球的半径为4，矩形的顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为2，设球内的一个质点落在四棱锥内的概率为，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.若，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

四、填空题

13. 难度：简单

学校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1~1000进行编号，则编号落入区间的人数为______.

14. 难度：中等

已知实数，满足，则的最大值是__________．

15. 难度：简单

在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．

16. 难度：中等

在直线上任取一点，过作抛物线的切线，切点分别为、，则直线恒过定点______.

五、解答题

17. 难度：简单

的内角、、所对的边分别为、、.已知，且.

（1）求角的大小；

（2）若，角的平分线交于，且，求.

18. 难度：中等

已知等差数列的前5项和为50，，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求.

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱中，底面，，，，.，分别为棱，的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若为线段的中点，试在图中作出过、、三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出以该多边形为底，为顶点的棱锥的体积.

20. 难度：中等

在中，、的坐标分别是，，点满足.轴上一点，满足//，且.

（1）求的顶点的轨迹的方程；

（2）直线：与轨迹交于、两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（为坐标原点），求的取值范围.

21. 难度：困难

已知函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线互相平行.

（1）求的值；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）若数列的前项和为，求证：.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）已知射线（其中）与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．

23. 难度：困难

选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）设，若的最小值为，求的值.