浙江省台州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（    ）

A. B. C.4 D.6

2. 难度：中等

设m，n是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A.α∥β，m⊂α，则m∥β

B.m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n

C.m∥n，n⊂α，则m∥α

D.m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

3. 难度：简单

过两点，的直线的倾斜角为，则（    ）．

A. B. C.-1 D.1

4. 难度：简单

将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

下列说法中正确的是（    ）

A.若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B.若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真

C.“若a²+b²＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a²+b²≠0”

D.“若a²+b²＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a²+b²≠0”

6. 难度：简单

在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是　　

A. B. C. D.

7. 难度：简单

定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于的直线条数为 （ ）

A.10 B.11 C.12 D.13

8. 难度：简单

异面直线a、b和平面α、β满足a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则l与a、b的位置关系一定是（    ）

A.l与a、b都相交 B.l与a、b中至少一条平行

C.l与a、b中至多一条相交 D.l与a、b中至少一条相交

9. 难度：中等

已知四棱锥P﹣ABCD，记AP与BC所成的角为θ₁，AP与平面ABCD所成的角为θ₂，二面角P﹣AB﹣C为θ₃，则下面大小关系正确的是（    ）

A.θ₁≤θ₂ B.θ₁≤θ₃ C.θ₂≤θ₃ D.θ₁≥θ₃

10. 难度：中等

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，DC＝2，DA＝DD₁＝1，点M、N分别为A₁D和CD₁上的动点，若MN∥平面AA₁C₁C，则MN的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

在空间直角坐标系中，已知点与点，则_____，若在z轴上有一点M满足|MA|=|MB|，则点M坐标为_____．

12. 难度：简单

已知直线l₁：（m﹣1）x+6y+2＝0，l₂：x+my+1＝0，m为常数，若l₁⊥l₂，则m的值为_____，若l₁∥l₂，则m的值为_____．

13. 难度：中等

如图，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则|PG|长为_____，异面直线PA与BC所成角的余弦值为_____．

14. 难度：简单

若圆O：x²+y²＝r²（r＞0）与圆C：x²+y²+ax+by﹣7＝0（a，b，r为常数），关于直线x﹣y+2＝0对称，则a的值为_____，r的值为_____．

15. 难度：简单

如图，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A作一截面与PB、PC、PD分别相交于E、F、G，则四边形AEFG周长的最小值为_____．

16. 难度：简单

已知实数x、y满足（x﹣2）²+（y+3）²＝1，则|3x+4y﹣4|的最小值为_____．

17. 难度：困难

如图，正四面体ABCD中，CD∥平面α，点E在AC上，且AE＝2EC，若四面体绕CD旋转，则直线BE在平面α内的投影与CD所成角的余弦值的取值范围是_____．

三、解答题

18. 难度：简单

已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．

（1）求该几何体的侧视图的面积；

（2）求该几何体的体积．

19. 难度：中等

已知p：关于x，y的方程C：x²+y²﹣4x+6y+m²﹣3＝0表示圆；q：圆x²+y²＝a²（a＞0）与直线3x+4y﹣5m+10＝0有公共点．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，若将△BCD沿着BD折起至△BC'D，使得AD⊥BC'．

（1）求证：平面C'BD⊥平面ABD；

（2）求C'D与平面ABC'所成角的正弦值；

（3）M为BD中点，求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值．

21. 难度：困难

已知圆C过点A(2,6),且与直线l₁: x+y－10=0相切于点B(6,4).

(1)求圆C的方程；

(2)过点P(6,24)的直线l₂与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l₂的斜率；

(3)在直线l₃: y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,  使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.

22. 难度：中等

如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'为30°，E、F分别为A'C、B'C'的中点．

（1）求证：EF∥平面AB'C；

（2）求B'到平面ABC的距离；

（3）求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值．