天津市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

i是虚数单位，复数满足条件，则的最大值是（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

3. 难度：简单

曲线若和直线围成的图形面积为(   )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

5. 难度：简单

设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为.将此结论类比到空间四面体：设四面体的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

已知定义在上的函数是奇函数，且，当时,有，则不等式的解集是（ ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

抛物线在处的切线与y轴及抛物线所围成的图形面积为（    ）

A.1 B. C. D.2

9. 难度：简单

函数是定义域为的可导函数，且对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数，（为自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

已知复数，当实数________，为实数，当实数________时，为虚数.

12. 难度：简单

过原点与曲线相切的切线方程为________.

13. 难度：简单

在处有极大值，则常数的值为_____

14. 难度：中等

计算：________.

15. 难度：中等

用数学归纳法说明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是________项.

16. 难度：简单

将全体正整数排成一个三角形数阵：

				1
			2		3
		4		5		6
	7		8		9		10
11		12		13		14		14
…

根据以上规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是________.

17. 难度：中等

已知函数，若对，都有恒成立，则实数a的取值范围是________.

三、解答题

18. 难度：中等

设数列的前n项和为，对一切，点都在函数的图象上.

(1)求，，的值.

(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明.

19. 难度：困难

已知函数.

(Ⅰ) 求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.

20. 难度：困难

已知函数，，（其中是自然对数的底数）.

(1)若，求函数在上的最大值.

(2)若，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围.

(3)若对任意的、，，不等式都成立，求实数a的取值范围.