2019届甘肃省高三第四次诊断考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设，为非零向量，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是，其中，则该直观图所表示的平面图形的面积为（    ）

A. B. C.16 D.8

5. 难度：简单

下列命题中正确的是（    ）

①已知随机变量服从正态分布，且，则；

②相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越大，相关性越弱；

③相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好；

④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高.

A.①② B.①④ C.②③ D.③④

6. 难度：简单

设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（    ）

A.若，，且，则

B.若，，且，，则

C.若，，且，则

D.若，，且，则

7. 难度：中等

现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（    ）

A.48种 B.60种 C.72种 D.108种

8. 难度：简单

已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，则的值为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知点，，动点A满足，则的最小值是（    ）

A.7 B.5 C.3 D.1，

10. 难度：简单

若，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

函数满足：，，当时，，又函数，则函数在上的零点个数为（    ）

A.4 B.5 C.6 D.7

12. 难度：中等

在中，，的平分线CD交边AB于D，若，则的最小值是（    ）

A. B. C.6 D.9

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在处的切线的斜率           ．

14. 难度：简单

在正方体中，点E是的中点，则异面直线BE与AC所成的角为________.

15. 难度：中等

已知，，且，，则的值为________.

16. 难度：简单

以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第19行第18个数是________.

第0行              1

第1行           1    1

第2行        1    2    1

第3行    1    3    3    1

第4行  1    4    6    4    1

      ……  ……  ……  ……  ……

三、解答题

17. 难度：中等

公差不为0的等差数列，为﹐的等比中项，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18. 难度：中等

哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组，，…，，其部分频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求成绩在的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；

（Ⅱ）从成绩在和的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；

（Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？

	优秀	非优秀	合计
男	4		30
女			30
合计			60

	0.025	0.010	0.005	0.001
	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，点D是侧棱上的一点.

（1）证明：当点D是的中点时，平面BCD；

（2）若二面角的余弦值为求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

椭圆过点，左焦点为F，PF与y轴交于点Q，且满足.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆，直线与圆O相切且与椭圆C交于不同两点A，B，当且时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线l的方程.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，判断在定义域上的单调性；

（2）若对定义域上的任意的，有恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：，.

22. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线相交于A，B两点.

（1）当时，求的普通方程；

（2）当变化时，求的最小值.

23. 难度：中等

设函数，设的解集为S.

（Ⅰ）求S，

（Ⅱ）证明：当，时，.