2020届内蒙古包头市高三上学期期末教学质量检测数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数满足，（是虚数单位），则复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知，，则的值为（    ）

A. B.2 C. D.18

4. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：

班级	参赛人数	平均数	中位数	众数	方差
甲	45	83	86	85	82
乙	45	83	84	85	133

某同学分析上表后得到如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同；

②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）；

③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；

④乙班成绩波动比甲班小.

其中正确结论有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6. 难度：简单

直线与平面平行的充要条件是（    ）

A.直线上有无数个点不在平面内

B.直线与平面内的一条直线平行

C.直线与平面内的无数条直线都平行

D.直线与平面内的任意一条直线都没有公共点

7. 难度：简单

若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（    ）

A. B. C.2 D.4

8. 难度：中等

下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知，，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

若函数对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则双曲线的离心率为（    ）

A. B.2 C. D.

12. 难度：中等

设，且，记，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生随机抽取了100人，发现使用或支付方式的学生共有90人，使用支付方式的学生共有70人，，两种支付方式都使用的有60人，则该校使用支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为______.

14. 难度：中等

已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数在区间上值域为，则实数的取值范围是______.

15. 难度：中等

在圆内接四边形中，，，，，则的面积为______.

16. 难度：中等

如图，棱长为1的正方体木块经过适当切割，得到棱数为12的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体）.已知面平行于正方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若在侧面内，且该正八面体的体积为，则该正八面体的棱长为______，点到棱的距离为______.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

18. 难度：中等

设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.

（1）求和的通项公式；

（2）记，，证明：，.

19. 难度：简单

已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望.

20. 难度：困难

已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的最大值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；

（2）若，且在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，且，讨论函数的单调性.

22. 难度：中等

点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点顺时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）射线与曲线、分别交于、两点，定点，求的面积.

23. 难度：中等

已知函数，.

（1）解不等式；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.