2020届福建省福州市高三第四次调研数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

是复数的共轭复数，则的虚部为（        ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则（        ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

已知数列为等比数列，数列满足，且，，则（        ）

A.9 B.27 C.36 D.72

4. 难度：中等

在中，分别是角的对边，且，则（        ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（        ）

A.48 B.144 C.288 D.576

6. 难度：中等

过双曲线的右顶点，作的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点，点，若四边形的面积为5，则的焦距的最小值是（        ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

在棱长为4的正方体中，点为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是（        ）

A. B. C. D.

8. 难度：困难

已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（        ）

A. B. C. D.2

9. 难度：困难

已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（        ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

10. 难度：困难

已知，且时，恒成立，则的最小值是（        ）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围是______.

12. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，点，若的周长的最大值是，则椭圆的离心率是______.

13. 难度：中等

设公差不为0的等差数列的前项和为，若成等比数列，且，则______，______.

14. 难度：困难

已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.

三、解答题

15. 难度：中等

在中，内角所对的边分别为，且.

（1）求；

（2）若，的周长为，求的面积.

16. 难度：中等

如图，底面是边长为2且的菱形，平面，，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上，且三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，求二面角的正弦值.

17. 难度：中等

已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴，直线被圆截得的弦长分别为，且.

（1）求圆的方程；

（2）问与直线，轴，轴都相切的圆是否存在，若存在请求出所有满足条件的圆的方程，若不存在也请说明理由.

18. 难度：中等

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图所示的茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表，再根据列联表，能否有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

	超过	不超过
第一种生产方式
第二种生产方式

附：，

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

19. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值；

（2）若恒成立，求的最大值.

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线､的极坐标方程；

（2）射线与曲线､分别交于异于原点的点､，当时，求的最小值.

21. 难度：中等

已知函数的定义域为.

（1）求实数的取值范围；

（2）设实数为的最大值，若正数满足，求的最小值.