黑龙江省大庆市2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合M＝{x|log₂(x－1)<1}，N＝{x|<()^x<1}，则M∩N＝( )

A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<3}

C.{x|0<x<3} D.{x|0<x<2}

2. 难度：简单

下列命题中错误的是（ ）

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

3. 难度：简单

数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）

A.x+2y+3=0 B.2x+y+3=0 C.x﹣2y+3=0 D.2x﹣y+3=0

4. 难度：中等

在△ABC中，D为BC边上的一点，满足BD=33，sinB，cos∠ADC，则AD的长为(    )

A.30 B.35 C.20 D.25

5. 难度：简单

在等比数列中，，2，则的值(    )

A.±2 B.2 C.±3 D.3

6. 难度：中等

若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于 （ ）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：困难

已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为(    )

A.4 B..6 C. D.

8. 难度：中等

在四面体P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，则在该四面体的表面上与点A距离为2的点形成的曲线段的总长度为(    )

A.2π B. C. D.

9. 难度：困难

已知函数若对任意的实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）>f（x₃）恒成立，则实数m的取值范围是(    )

A.[1，4） B.（1，4） C.（） D.[]

10. 难度：中等

已知函数=2cos（ωx）（ω>0）满足：f（）=f（），且在区间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：P₁：在[0，2π]上单调递减；P₂：的最小正周期是4π；P₃：的图象关于直线x对称；P₄：的图象关于点（，0）对称.其中的真命题是(    )

A.P₁，P₂ B.P₂，P₄ C.P₁，P₃ D.P₃，P₄

11. 难度：困难

已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（　　）

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

12. 难度：困难

已知数列，满足a₁=1，|a_n﹣a_n﹣1|（n∈N，n2），且是递减数列，是递增数列，则6a₁₀=(    )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，，则的取值范围是_____．

14. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为_____.

15. 难度：困难

点M是棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N是△ACD₁的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是_____.

16. 难度：困难

若点A（x，y）满足C：（x+3）²+（y+4）²25，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，||的最小值为_____.

三、解答题

17. 难度：简单

函数y=x²+ax+b的图象与坐标轴交于三个不同的点A、B、C，已知△ABC的外心在直线y=x上，求a+b的值.

18. 难度：中等

△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为

(1)求;

(2)若求△ABC的周长.

19. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AB=1，AD，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使AB⊥DC，连接AC，得到三棱锥A﹣BCD.

(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，且a₁₀=19，S₁₀=100；数列{b_n}对任意n∈N^*，总有b₁b₂b₃…b_n﹣1b_n=a_n+2成立.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)记c_n=（﹣1）ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n.

21. 难度：困难

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

22. 难度：困难

已知曲线C_n：x²﹣2nx+y²=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n，切点为P_n（x_n，y_n）.

(1)求数列{x_n}与{y_n}的通项公式；

(2)证明：.