2020届山西省太原市高三11月阶段性考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知是的共轭复数，且，则的模是（    ）

A.3 B.4 C.5 D.

3. 难度：简单

若可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为（    ）

A.10 B.9 C.8 D.7

4. 难度：中等

函数，则（    ）

A.0 B. C.4 D.1

5. 难度：中等

已知，则的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知曲线向左平移个单位，得到的曲线经过点，则（　　）

A.函数的最小正周期

B.函数在上单调递增

C.曲线关于点对称

D.曲线关于直线对称

7. 难度：中等

函数的最小值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.6

8. 难度：中等

函数的图象大致为

A.  B.

C.  D.

9. 难度：中等

已知正数、满足，则的最小值是（    ）

A.6 B.12 C.24 D.36

10. 难度：困难

平面过棱长为1的正方体的面对角线，且平面，平面，点在直线上，则的长度为（    ）

A. B. C. D.1

11. 难度：中等

已知实数a，b满足，，则的最小值为　　

A. B. C. D.

12. 难度：中等

如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知实数满足不等式组，则的最小值为__________．

14. 难度：中等

设当时，函数的最大值为______.

15. 难度：困难

如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的哲学理念．定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题正确的是___________.

（1）函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；

（2）函数可以是某个圆的“太极函数”；

（3）若函数是某个圆的“太极函数”，则函数的图象一定是中心对称图形；

（4）对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个.

16. 难度：困难

已知，集合，集合所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为____________．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，是的中点，，，.

（1）求的面积.

（2）若为上一点，且，求值.

18. 难度：中等

已知函数

（1）若且是锐角，当，求的取值.

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

19. 难度：中等

已知数列满足，且.

（1）求证：数列是等比数列.

（2） 设为数列的前项的和，记为数列的前项和，若，，求的最小值.

20. 难度：中等

如图，在三棱锥中，顶点在底面上的投影在棱上，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）已知点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程.

（2）若正实数满足，求证：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，为的倾斜角，且），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，曲线与交于两点，与交于点，且，求的普通方程.

23. 难度：中等

已知为正数，且，证明：

（1）；

（2）.