2020届江苏省盐城市、南京市高三年级第一次模拟数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，全集，则________.

2. 难度：简单

设复数，其中为虚数单位，则_________.

3. 难度：简单

学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为________.

4. 难度：中等

命题“”的否定是_________命题.（填“真”或“假”）

5. 难度：中等

运行如图所示的伪代码，则输出的的值为_______.

6. 难度：简单

已知样本7，8，9，的平均数是9，且，则此样本的方差是______.

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点到点的距离为______.

8. 难度：中等

若数列是公差不为0的等差数列，、、成等差数列，则的值为______.

9. 难度：中等

在三棱柱中，点是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则________.

10. 难度：中等

设函数的图象与轴交点的纵坐标为，轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为_______.

11. 难度：中等

已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.

12. 难度：中等

若无穷数列是等差数列，则其前10项的和为________.

13. 难度：中等

已知集合，集合，若，则的最小值为___________.

14. 难度：中等

若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.

二、解答题

15. 难度：中等

已知满足.

（1）若，求；

（2）若，且，求.

16. 难度：中等

如图，长方体中，已知底面是正方形，点是侧棱上的一点.

（1）若平面，求的值；

（2）求证：.

17. 难度：困难

如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中剪裁出两块全等的圆形铁皮与做圆柱的底面，剪裁出一个矩形做圆柱的侧面（接缝忽略不计），为圆柱的一条母线，点在上，点在的一条直径上，，分别与直线、相切，都与内切.

（1）求圆形铁皮半径的取值范围；

（2）请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）

18. 难度：困难

设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.

19. 难度：困难

定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中

（1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；

（3）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

若函数为奇函数，且时有极小值.

（1）求实数的值；

（2）求实数的取值范围；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

21. 难度：中等

已知圆经矩阵变换后得到圆，求实数的值.

22. 难度：中等

在极坐标系中，直线被曲线截得的弦为，当是最长弦时，求实数的值.

23. 难度：中等

已知正实数满足，求的最小值.

24. 难度：中等

如图，是圆柱的两条母线，分别经过上下底面的圆心是下底面与垂直的直径，.

（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小为，求母线的长.

25. 难度：困难

设，记.

（1）求；

（2）记，求证：恒成立.