上海市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

关于、的方程组的增广矩阵为________

2. 难度：简单

若（是虚数单位），则________．

3. 难度：简单

已知，，则在上的投影是________

4. 难度：简单

行列式中，第2行第1列元素的代数余子式的值为________

5. 难度：简单

设椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的标准方程为________

6. 难度：简单

已知直线与平行，则的值是____．

7. 难度：简单

若向量、的夹角为，，，则______.

8. 难度：中等

已知圆：, 则圆在点处的切线的方程是___________.

9. 难度：简单

下列命题：

（1），，则；

（2），则不成立；

（3），则是纯虚数；

（4），，则；

（5），则；

其中正确的命题有________个

10. 难度：简单

设F₁、F₂分别是双曲线x²1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•0，则||＝________________

11. 难度：简单

为抛物线上一动点，为的焦点，为抛物线内部一点，则的最小值为________

12. 难度：困难

已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________

二、单选题

13. 难度：简单

已知复数，（为虚数单位），在复平面内，对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

14. 难度：简单

（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量

A. B.

C. D.

15. 难度：简单

“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ）条件．

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要

16. 难度：中等

双曲线绕坐标原点逆时针旋转后可以成为函数的图像,则的角度可以为（    ）

A.30° B.45° C.60° D.90°

三、解答题

17. 难度：简单

设,关于x的方程的两个根分别是和.

（1）当=1+i时，求与m、n的值；

（2）当时，求的值.

18. 难度：简单

已知，，，（）.

（1）若，且∥，求的值；

（2）若，且，求的取值范围.

19. 难度：困难

已知关于的方程.

（1）若方程表示圆，求的取值范围；

（2）若圆与直线相交于两点，且，求的值.

20. 难度：中等

已知抛物线（）.

（1）若上一点到其焦点的距离为3，求的方程；

（2）若，斜率为2的直线交于A、B两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，，求点M的坐标.

21. 难度：困难

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．

（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；

（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）