2020届高三1月（考点07）（理科）-《新题速递·数学》

一、单选题

1. 难度：简单

已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面.给出下列四个命题：

①若，则；②若，则；

③若，则；④若，则.

其中为真命题的编号是（    ）

A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④

2. 难度：中等

设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题：

①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；

③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．

其中，一定正确的是（    ）

A.①②③ B.①③ C.①④ D.③④

3. 难度：简单

在四棱锥中，，，，则（    ）

A.2 B. C. D.

4. 难度：中等

如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中，P，E，F分别是，，AC的中点.则四棱锥的体积为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知三棱锥中，平面ABC，，，若三棱锥外接球的表面积为，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

8. 难度：困难

在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知正三棱柱的所有棱长都为3，是的中点，是线段上的动点.若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球表面积的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里.四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠.故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里.”意思为“天的中央亦高出四周六万里，四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠.所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里.”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为（    ）

A.万里 B.万里 C.万里 D.万里

11. 难度：中等

如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

12. 难度：中等

在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.

13. 难度：困难

如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______．

14. 难度：困难

设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______.

15. 难度：中等

已知正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面边长为，为中点，，则球表面积为______.

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，，.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

17. 难度：中等

已知C是以AB为直径的圆周上一点，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若异面直线PB与AC所成的为，求二面角的余弦值.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.

（1）求证：；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面平面，，.

（1）求证：.

（2）若M为线段上的一点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20. 难度：中等

如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

21. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22. 难度：中等

如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．

（1）若点是的中点，求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．