专题11.4 数学归纳法（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》

一、填空题

1. 难度：简单

已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明_______．

2. 难度：简单

用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为       ．

3. 难度：简单

用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.

4. 难度：简单

若，则对于

__________．

5. 难度：简单

用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”的第二步是____．

6. 难度：简单

已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已知假设为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证_______．

7. 难度：中等

设，则

=    ▲    

8. 难度：简单

已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N^*)，用数学归纳法证明f(2ⁿ)>时，f(2^k＋1)－f(2^k)等于________．

二、解答题

9. 难度：困难

设实数满足，且且，令．求证：．

10. 难度：困难

在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令

(1)当 时，求的值；

(2)求.

11. 难度：困难

记.

（1）求的值；

（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.

12. 难度：中等

设数列（）为正实数数列，且满足.

（1）若，写出；

（2）判断是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由.

13. 难度：困难

各项均为正数的数列对一切均满足．证明：

（1）；

（2）．

14. 难度：困难

已知数列{b_n}是等差数列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n；

(2)设数列{a_n}的通项a_n＝log_a(其中a＞0且a≠1)．记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n＋1的大小，并证明你的结论.

15. 难度：困难

已知函数

（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；

（Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：

（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由.

16. 难度：困难

已知函数，设为的导数，

（1）求的值；

（2）证明：对任意，等式都成立.

17. 难度：困难

已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

18. 难度：困难

已知数列，，且对任意n恒成立．

（1）求证：(n)；

（2）求证：(n)．

19. 难度：简单

已知函数，记为的导数，.

（1）求；

（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.

20. 难度：中等

已知数列 满足 .

（1）证明：数列 是等比数列；

（2）令 ，用数学归纳法证明：

21. 难度：中等

在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．

（1）求的值；

（2）用数学归纳法证明此结论．

22. 难度：困难

已知均为非负实数，且．

证明：（1）当时，；

   （2）对于任意的，．

23. 难度：困难

已知数列满足，，．

（1）用数学归纳法证明：；

（2）令，证明：．

24. 难度：困难

已知数列满足，且对任意，都有成立．

（1）求的值；

（2）证明：数列是等差数列．

25. 难度：困难

在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.

（1）直接写出，，，的值；

（2）当时，试用，表示，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：为奇数.