2018届上海市高三下学期模拟卷（一）数学试卷

一、解答题

1. 难度：困难

设数列的前项和，已知，.

（1）求证:数列为等差数列，并求出其通项公式；

（2）设，又对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可能取值.

2. 难度：中等

记是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：

①对任意的，都有；

②存在常数，使得对任意的、，都有.

（1）设函数，，判断函数是否属于？并说明理由；

（2）已知函数，求证：方程的解至多一个；

（3）设函数，，且，试求实数的取值范围.

二、填空题

3. 难度：简单

若，则_______.

4. 难度：简单

设函数，则_______.

5. 难度：简单

已知，，则______.

6. 难度：简单

设复数（、，为虚数单位），若，则______.

7. 难度：中等

若双曲线的渐近线与圆相切，则两渐近线夹角为______.

8. 难度：简单

某市公租房房源位于三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子． 申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请小区房源的概率是______．

9. 难度：中等

若直线与直线垂直，则________.

10. 难度：中等

底面半径为的圆柱，为其一条母线，若上、下底面圆周上的点都在某一球面上，，则、两点的球面距离为_______.

11. 难度：中等

已知，若数列、、、是一个单调递增数列，则的最大值为____.

12. 难度：中等

若，且当时，恒有，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于               ．

13. 难度：困难

已知方程恰有三个不同的实数解，且，则实数______.

14. 难度：中等

若平面向量、、满足，，，，则、夹角的取值范围是_____.

三、单选题

15. 难度：简单

设为全集，、为非空子集，且，则下列关系中错误的是（    ）

A. B.

C. D.

16. 难度：中等

若实数、、同时满足：①；②；③.则、、的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（    ）

A. B.

C. D.

18. 难度：中等

如图分别为定义域和值域均为的函数和函数的图象，则下列命题正确的是（    ）

  

A.函数恰有个零点 B.函数恰有个零点

C.函数恰有个零点 D.函数恰有个零点

四、解答题

19. 难度：中等

已知函数和锐角三角形.

（1）若为奇函数，求角的大小；

（2）在（1）的前提下，求的取值范围.

20. 难度：中等

如图，有一块三棱锥形木块，各面均是锐角三角形，其中面内有一点.

（1）若要在面内过点画一条线段，其中点在线段上，点在线段上，且满足与垂直，该如何求作？请在图中画出线段并说明画法，不必证明；

（2）经测量，，，，，若恰为三角形的重心，为（1）中所求线段，求三棱锥的体积.

21. 难度：中等

已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧.

（1）若直线过点，求椭圆方程；

（2）求证：为定值.