重庆市校2020届高三上学期第五次月考（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，a为实数，复数z=（1﹣2i）（a+i）在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

本次高三数学考试有1万人次参加，成绩服从正态分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在内的人数约为（    ）

（参考数据：，，）

A.6667人 B.6827人 C.9545人 D.9973人

4. 难度：简单

已知的图象关于直线对称，若存在，使得对于任意的x都有，且的最小值为，则等于（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知由不等式组确定的平面区域的面积为7，则的值为（    ）

A.3 B.1 C.-1 D.-3

6. 难度：中等

已知在圆上运动，且若点P的坐标为，则的最大值为（    ）

A.7 B.8 C.9 D.10

7. 难度：简单

一个三位数：个位、十位、百位上的数字依次为，，，当且仅当，时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是（ ）

A.2 B. C.4 D.2

9. 难度：中等

设函数，已知，，，则（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知正项数列的前n项和为，且，若数列，数列的前2020项和为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

曲线y=x²与y=x所围成的封闭图形的面积为______．

14. 难度：困难

已知函数，若有4个零点，则m的取值范围是 _________.

15. 难度：困难

已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程 有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切.

16. 难度：困难

如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，.则

（1）双曲线的离心率______；

（2）菱形的面积与矩形的面积的比值______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等比数列的前n项和为，且当时，是与2m的等差中项为实数.

（1）求m的值及数列的通项公式；

（2）令，是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.

18. 难度：中等

如图，是平面四边形的一条对角线，已知，且.

（1）求证：为等腰直角三角形；

（2）若，，求四边形面积的最大值.

19. 难度：中等

设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.

20. 难度：困难

已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，对任意的，存在，使得成立，试确定实数m的取值范围.

21. 难度：困难

已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，设圆：，不与轴垂直的直线与交于、两点，原点到直线的距离为，线段、分别与椭圆交于、，，垂足为.设，，的面积为，的面积为.

①试确定与的关系式；、

②求的最大值.

22. 难度：中等

已知平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；

（2）过曲线C上任意一点E作与直线l的夹角为的直线，交l于点F，求的最小值.

23. 难度：困难

已知实数a、b、.

（1）若，求的最小值；

（2）若，求证：.