2020届山西省阳泉市高三上学期期末数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合则等于（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数的虚部为（   ）

A. B. C.1 D.-1

3. 难度：中等

若 满足，则的最大值为（  ）

A. B.3 C. D.4

4. 难度：简单

已知向量，，则向量与的夹角是（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（    ）

A.28 B.56 C.84 D.120

7. 难度：简单

若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（  ）

A. 1 B. 2 C. 9 D. 18

8. 难度：简单

函数的大致图像为（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

关于函数，下列命题正确的个数是　　

①若存在，有时，成立；

②在区间上是单调递增；

③函数的图象关于点成中心对称图象；

④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．

A.①②③ B.②④ C.①③ D.①②④

12. 难度：中等

已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是__________,三天中有两天下雨的概率的近似值为__________

14. 难度：中等

若函数在区间 单调递增，则实数的取值范围为__________．

15. 难度：简单

已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心为半径的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是_________

16. 难度：中等

已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．

三、解答题

17. 难度：中等

数列中，，，数列满足．

（I）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（II）设，求数列的前n项．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

19. 难度：中等

近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体、、、分别赋分分、分、分、分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分．

（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；

（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；

（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．

20. 难度：中等

已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点，试问在铀上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数 (，是自然对数的底数).

  （1）设 (其中是的导数)，求的极小值；

  （2）若对，都有成立，求实数的取值范围．

22. 难度：中等

在直角坐标系.xOy中，曲线C₁的参数方程为（ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ.

（1）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

（2）已知曲线C₂的极坐标方程为，点A是曲线C₃与C₁的交点，点B是曲线C₃与C₂的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求α的值.

23. 难度：中等

已知的最小值为t.

（1）求t的值；

（2）若实数a，b满足，求的最小值.