2020届广东省梅州市五华县高三上学期期末数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则等于（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

设，，则“”是“”的（     ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（　　）

A. 85 B. 84 C. 83 D. 81

5. 难度：中等

已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

函数的大致图象是

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA₁⊥面A₁B₁C₁，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）

A. B. C. D.4

8. 难度：中等

太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，若，则角为（ ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（  ）

A. B.

C. D.

11. 难度：困难

设，，，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

已知函数，给出下面四个命题：

①函数的最小正周期为π；②函数是偶函数；

③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数.

其中正确命题的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

13. 难度：简单

若三点，，在同一条直线上，则实数＝________.

14. 难度：简单

函数，则________

15. 难度：中等

已知均为正实数，且,则的最小值为__________．

16. 难度：中等

如图，平面四边形MNPQ中，，，，，则NP的最小值为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列为等差数列，，且满足，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

18. 难度：中等

如图，已知四边形是直角梯形，，，，，为线段的中点，平面，，是线段的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小；

19. 难度：中等

随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；

（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．

21. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：对；

（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.

23. 难度：困难

已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．