专题10.4 推理与证明（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》

一、填空题

1. 难度：简单

若，，则的大小关系________.

2. 难度：中等

给出下面类比推理(其中为有理数集，为实数集，为复数集)：

①“若，则”类比推出“，则”；

②“若，则复数”类比推出“，则”；

③“，则”类比推出“若，则”；

④“若，则”类比推出“若，则”．

其中类比结论正确的个数为________.

3. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足，那么.

证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以.

根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为          .（不必证明）

4. 难度：中等

已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：_____________________________________；已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．

5. 难度：简单

由中可猜想出的第个等式是_____________

6. 难度：中等

设是两个实数，给出下列条件：

①；②；③；④；⑤.

其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________．

7. 难度：中等

已知点A_n(n，a_n)为函数y＝图象上的点，B_n(n，b_n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N^*，设c_n＝a_n－b_n，则c_n与c_n＋1的大小关系为______.

8. 难度：中等

已知下列等式：

观察上式的规律，写出第个等式________________________________________.

9. 难度：中等

若为内部任意一点，连并延长交对边于，则，同理连、并延长，分别交对边于、，这样可以推出____________；类似的，若为四面体内部任意一点，连、、、并延长，分别交相对面于、、、，则____________.

10. 难度：中等

如图所示，第个图形是由正边形拓展而来（），则第个图形共有________个顶点．

11. 难度：困难

在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质：               .

12. 难度：中等

根据下面一组等式：

S₁＝1；

S₂＝2＋3＝5；

S₃＝4＋5＋6＝15；

S₄＝7＋8＋9＋10＝34；

S₅＝11＋12＋13＋14＋15＝65；

S₆＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111；

S₇＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175；

……

可得S₁＋S₃＋S₅＋…＋S_2n－1＝________．

13. 难度：中等

对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

…

根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则    .

14. 难度：中等

已知下列等式：

观察上式的规律,写出第个等式_______

15. 难度：中等

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲

16. 难度：中等

观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为       .

二、解答题

17. 难度：简单

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°

（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°

（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°

（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin²（-18°）cos²48°

（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin²（-25°）cos²55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

18. 难度：中等

请先阅读：

在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（，正整数），证明：．

（2）对于正整数，求证：

（i）； （ii）； （iii）．

19. 难度：困难

已知函数，设为的导数，

（1）求的值；

（2）证明：对任意，等式都成立.

20. 难度：困难

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

21. 难度：困难

已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.