2020届广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数，则（    ）

A. B. C.2 D.1

2. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知向量.若//，则（    ）

A.1 B.2 C.4 D.

4. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A.3 B. C. D.9

5. 难度：简单

已知，则的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知等差数列的通项公式为，等差数列通项公式为.若将数列与数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的第10项为（    ）

A.52 B.55 C.59 D.65

7. 难度：简单

已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，…，以此类推，交替使用纵横两式.例如：627可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用7根小木棍的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于点，则（    ）

A. B.16 C.12 D.

10. 难度：中等

已知是定义域为的奇函数，也是奇函数，当时，，则的大小关系是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：简单

已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，所有正确结论的编号是（    ）

A.①② B.①③④ C.②④ D.①②④

12. 难度：困难

已知为坐标原点，圆，圆，分别为和上的动点，则面积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知实数满足则的最小值是________.

14. 难度：简单

若的展开式中的系数是，则________.

15. 难度：中等

已知为数列的前项和，若，则________.

16. 难度：中等

在三棱锥中，底面.若，分别是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________.

三、解答题

17. 难度：简单

在中，角的对边分别为，已知.

（1）求角；

（2）若，求的面积.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为45°，求二面角的大小.

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线的方程.

20. 难度：中等

设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，证明恒成立.

21. 难度：中等

某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管，钢管有内外两个口径，甲种钢管内外两口径的标准长度分别为和，乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为和.根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长度都服从正态分布，长度在之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准流入市场，其他长度的钢管为正品.

（1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测，求至少有1根为废品的概率；

（2）监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为，标准长分别为，则“口径误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是（正品钢管中没有“口径误差”大于的钢管），现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示：

　　　　甲种钢管　　　　　　　　　　　　　　　乙种钢管

已知经销商经销甲种钢管，其中“一级品”的利润率为0.3，“二级品”的利润率为0.18，“合格品”的利润率为0.1；经销乙种钢管，其中“一级品”的利润率为0.25，“二级品”的利润率为0.15，“合格品”的利润率为0.08，若视频率为概率.

（ⅰ）若经销商对甲、乙两种钢管各进了100万元的货，和分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；

（ⅱ）若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？

附：若随机变量服从正态分布，则，，，.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）直线的极坐极方程为，直线与曲线和分别交于不同于原点的两点，求的值.

23. 难度：困难

已知，函数.

（1）若，求函数的最小值；

（2）证明：.