湖南省衡阳市衡阳县2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在中,若,则一定是(         )

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

2. 难度：简单

给出命题：若函数是幂函数，则它的图像不过第四象限，在它的原命题､逆命题､否命题､逆否命题四个命题中，真命题的个数是(    )

A.4 B.2 C.1 D.0

3. 难度：简单

在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高是(    )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）

A.1升 B.升 C.升 D.升

5. 难度：中等

设均为单位向量，则“”是“”的（   ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

若（ ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是(    )

A. B. C. D.

8. 难度：简单

数列为等比数列，是它的前项和，已知，且与的等差中项为，则(    )

A.31 B.32 C.16 D.15

9. 难度：简单

设A为圆(x－1)²＋y²＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )

A. (x－1)²＋y²＝4 B. (x－1)²＋y²＝2

C. y²＝2x D. y²＝－2x

10. 难度：简单

在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为(    )

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

不等式组的解集为________.

12. 难度：简单

如图，五角星魅力无穷，一动点由处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2019应在______________处(填大写字母)

13. 难度：简单

已知命题若数列的前项和，则数列是等差数列.当是假命题时，实数的值为______________.

14. 难度：中等

已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数______.

15. 难度：中等

过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则                       ．

三、解答题

16. 难度：中等

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

17. 难度：简单

在数列中，，，

(1)设，证明：数列是等差数列；

(2)求数列的前项和.

18. 难度：中等

扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？

⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.

19. 难度：中等

已知椭圆：的离心率为，点和点

都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得

？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

(1)证明:直线平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)求平面与所成二面角的正弦值.