浙江省宁波市九校2019-2020学年高二上学期期末联考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数满足，则的虚部为(    )

A. B. C.2 D.

3. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

4. 难度：简单

设，，，则线段的中点到点的距离为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知，，，是空间四个不同的点，则“与是异面直线”是“与是异面直线”的（    ）

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

以下关于圆锥曲线的命题中：

①双曲线与椭圆有相同焦点；

②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；

③设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；

④过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；

以上命题正确的个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7. 难度：简单

已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于的渐近线的直线交于点．若，则的离心率为（ ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图，正四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），是的中点，分别记二面角，，的平面角为，，，则（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：困难

设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知抛物线，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过点作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则的最小值是（    ）

A. B. C.1 D.

二、填空题

11. 难度：简单

设复数，，其中是虚数单位，若为纯虚数，则实数______.

12. 难度：中等

已知圆C：和点，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程为______；若直线l与M点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线l的方程是______．

13. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为正三角形，则该几何体的体积（单位：）是______，该几何体的表面积（单位：）是______.

14. 难度：中等

在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.

15. 难度：简单

双曲线：的渐近线为菱形的边，所在的直线，点为双曲线的焦点，若，则双曲线的方程为______.

16. 难度：困难

边长为2的等边和直角所在半平面构成的二面角，当，时，线段的长度为______.

17. 难度：困难

如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为______.

三、解答题

18. 难度：中等

已知条件：“存在，”，条件：“曲线：表示焦点在轴上的椭圆”，条件：“曲线：表示双曲线”.

（1）若与同时成立，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.

20. 难度：困难

在所有棱长都相等的三棱柱中，.

（1）证明：；

（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.

21. 难度：困难

如图，已知抛物线：上一点，过点作直线交抛物线于另一点，点在线段上，在抛物线上，轴，于点.

（1）若，求的最大值；

（2）求使等式恒成立的直线的方程.

22. 难度：困难

已知椭圆：的左、右顶点分别为，，圆上有一动点，在轴上方，点，直线交椭圆于点，连接，.

（1）若，求的面积；

（2）设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.